范数

提示：此条目的主题不是範數 (域論)。

拥有不同范数的單位圓

范数（英語：Norm），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（英語：seminorm）可以为非零的向量赋予零长度。

举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{2}$ 就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：$(3,7)$）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

定义

假设 $V$ 是域 $\mathbb {F}$ 上的向量空间；$V$ 的半范数是一个函数 $p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)$，满足：

$\forall a\in \mathbb {F} ,\forall u,v\in V$,

1. $p(v)\geq 0$（具有半正定性）
2. $p(av)=|a|p(v)$（具有绝对一次齐次性）
3. $p(u+v)\leq p(u)+p(v)$（满足三角不等式，或称次可加性）

范数是一个半范数加上额外性质：

4. $p(v)=0$，当且仅当 $v$ 是零向量（正定性）

如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

例子

• 所有范数都是半范数。
• 平凡半范数，即 $p(x)=0,\forall x\in V$。
• 绝对值是实数集上的一个范数。
• 对向量空间上的次线性型 $f$ 可定义一个半范数：${\boldsymbol {x}}\to |f({\boldsymbol {x}})|$。

绝对值范数

绝对值范数为

$\|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|$

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里得范数

主条目：欧几里德距离

在 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 上，向量 ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n})^{\mathrm {T} }$ 的最符合直觉的长度由以下公式给出

$\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

根据勾股定理，它给出了从原点到点 ${\boldsymbol {x}}$ 之间的（通常意义下的）距离。欧几里得范数是 $\mathbb {R} ^{n}$ 上最常用的范数，但正如下面举出的，$\mathbb {R} ^{n}$ 上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个 $n$ 维复数空间 $\mathbb {C} ^{n}$ 中，最常见的范数是：

$\|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.$

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},$

其中 ${\boldsymbol {x}}$ 是一个列向量（$[x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n}]^{\mathrm {T} }$），而 ${\boldsymbol {x}}^{*}$ 表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.$

特别地，$\mathbb {R} ^{n+1}$ 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个 n 维球面。

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面 $\mathbb {R} ^{2}$，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把 $x+i\,y$ 视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为 ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$（最初由欧拉提出）。

参见

• 内积
• 赋范向量空间
• 矩阵范数
• 曼哈顿距离
• Lp 范数

参考文献

• Bourbaki, Nicolas. Chapters 1–5. Topological vector spaces. Springer. 1987. ISBN 3-540-13627-4. 
• Prugovečki, Eduard. Quantum mechanics in Hilbert space 2nd. Academic Press. 1981: 20. ISBN 0-12-566060-X. 
• Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, Inc. 1995: 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9. 
• Khaleelulla, S. M. Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Springer-Verlag. 1982: 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6. Zbl 0482.46002.