广义频谱图

广义频谱图（Generalized spectrogram），为频谱图的通用型。为了得知信号随着时间的频率分布状态，以频谱图观察时，其分辨率受到测不准原理影响，频率分辨率与时间分辨率相乘为定值。为解决此问题，于是将频谱图推广至广义频谱图。

一段随时间变化的信号，同时具有时域和频域的特征，若想要了解一个信号在某段时间内的频率特征，最好的方式就是使用时频分析，观察一段信号的时频分布图。频谱图(Spectrogram)就是其中一种同时表示时间和频率特征的分布图。

广义频谱图的定义

以高斯函数作为窗函数(window function)，使用时频分析，求出两组不同长度的窗函数的加伯转换，即 ${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)$ 和 ${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ ，再将 ${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ 取共轭复数后相乘。公式如下：

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)$

其中 $w_{1}(t),w_{2}(t)$ 为加伯转换的窗函数， $t$ 为时间 $f$ 为频率。

加伯转换的公式如下：

${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

若将 $w_{1}(t)=w_{2}(t)$ ，则与原本频谱图无异。

长度不同的窗函数，其时频域的分辨率不同，依据测不准原理，较窄的窗函数，时间分辨率较好，而频率分辨率较差；相反的，较宽的窗函数，频率分辨率较好，而时间分辨率较差。

为了同时在时间和频率轴上都达到更好的分辨率，把在频谱图原定义中的 $w(t)$ 分为两个长短不同的波形。例如 : 可以让 $w_{1}(t)$ 长度较宽，在频域上面有良好的分辨率，而 $w_{2}(t)$ 则长度较窄，在时域上有良好的分辨率。先分别运算 ${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)$ 和 ${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ ，再相乘，变为 $S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ 。如此一来时域和频域上的分辨率都能兼顾到。

优点

有优于测不准原理的时间分辨率与空间分辨率。
由于各自的加伯转换并不会有cross term，故此方法也不会有cross term出现。
有省时方法：当一组加伯转换中的数值为零时，我们将不用去计算另一组，因为相乘后还是零。

缺点

需要计算两组加伯转换，即与频谱图相比，最高会多花两倍的时间
需要去最佳化 $w_{1}(t)$ 与 $w_{2}(t)$

例子

当我们的输入信号为：

x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(6\pi t);&t>20\end{cases}}

我们先分别求出 $\sigma =0.1$ 与 $\sigma =1.6$ 的。经Matlab计算后，如下图

将其中一个取共轭复数后，两者相乘，得到广义频谱图如下；

我们可以与 $\sigma =0.4$ 的加伯转换比较：

可以发现广义频谱图无论是在时间分辨率下，或是频率分辨率下，都优于 $\sigma =0.4$ 的加伯转换。

变形

原本的广义频谱图公式为 $S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)$

我们可以对此再进行一般化，如下

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}^{\alpha }(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{\beta }(t,f)$

或者如下方形式：

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=\left|G_{x,{w_{1}}}(t,f)\right|^{\alpha }\left|G_{x,{w_{2}}}(t,f)\right|^{\beta }$

两种方法新增了 $\alpha$ 、 $\beta$ 两变数，期望能找到更好的分辨率。

参见

参考来源

丁建均上课讲义。时频分析与小波转换（页面存档备份，存于互联网档案馆），p189-p192。2016.1.19
P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。