廣義頻譜圖

廣義頻譜圖（Generalized spectrogram），為頻譜圖的通用型。為了得知信號隨着時間的頻率分佈狀態，以頻譜圖觀察時，其解像度受到測不準原理影響，頻率解像度與時間解像度相乘為定值。為解決此問題，於是將頻譜圖推廣至廣義頻譜圖。

一段隨時間變化的信號，同時具有時域和頻域的特徵，若想要了解一個信號在某段時間內的頻率特徵，最好的方式就是使用時頻分析，觀察一段信號的時頻分佈圖。頻譜圖(Spectrogram)就是其中一種同時表示時間和頻率特徵的分佈圖。

廣義頻譜圖的定義

以高斯函數作為窗函數(window function)，使用時頻分析，求出兩組不同長度的窗函數的加伯轉換，即 ${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)$ 和 ${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ ，再將 ${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ 取共軛複數後相乘。公式如下：

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)$

其中 $w_{1}(t),w_{2}(t)$ 為加伯轉換的窗函數， $t$ 為時間 $f$ 為頻率。

加伯轉換的公式如下：

${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

若將 $w_{1}(t)=w_{2}(t)$ ，則與原本頻譜圖無異。

長度不同的窗函數，其時頻域的解像度不同，依據測不準原理，較窄的窗函數，時間解像度較好，而頻率解像度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解像度較好，而時間解像度較差。

為了同時在時間和頻率軸上都達到更好的解像度，把在頻譜圖原定義中的 $w(t)$ 分為兩個長短不同的波形。例如 : 可以讓 $w_{1}(t)$ 長度較寬，在頻域上面有良好的解像度，而 $w_{2}(t)$ 則長度較窄，在時域上有良好的解像度。先分別運算 ${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)$ 和 ${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ ，再相乘，變為 $S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}\left({t,f}\right)$ 。如此一來時域和頻域上的解像度都能兼顧到。

優點

有優於測不準原理的時間解像度與空間解像度。
由於各自的加伯轉換並不會有cross term，故此方法也不會有cross term出現。
有省時方法：當一組加伯轉換中的數值為零時，我們將不用去計算另一組，因為相乘後還是零。

缺點

需要計算兩組加伯轉換，即與頻譜圖相比，最高會多花兩倍的時間
需要去最佳化 $w_{1}(t)$ 與 $w_{2}(t)$

例子

當我們的輸入信號為：

x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(6\pi t);&t>20\end{cases}}

我們先分別求出 $\sigma =0.1$ 與 $\sigma =1.6$ 的。經Matlab計算後，如下圖

將其中一個取共軛複數後，兩者相乘，得到廣義頻譜圖如下；

我們可以與 $\sigma =0.4$ 的加伯轉換比較：

可以發現廣義頻譜圖無論是在時間解像度下，或是頻率解像度下，都優於 $\sigma =0.4$ 的加伯轉換。

變形

原本的廣義頻譜圖公式為 $S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)$

我們可以對此再進行一般化，如下

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}^{\alpha }(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{\beta }(t,f)$

或者如下方形式：

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=\left|G_{x,{w_{1}}}(t,f)\right|^{\alpha }\left|G_{x,{w_{2}}}(t,f)\right|^{\beta }$

兩種方法新增了 $\alpha$ 、 $\beta$ 兩變數，期望能找到更好的解像度。

參見

參考來源

丁建均上課講義。時頻分析與小波轉換（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），p189-p192。2016.1.19
P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。