讨论:哥德尔不完备定理

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Untitled

整个翻译终于完成了，但还有些不满意的地方。因本人水平有限，翻译的粗糙、输入错误当然在所难免，最重要的还是涉及到的众多人名。因为不是专家，所以也不知道规范的译名应该是什么，所以很多时候只能保留英文原名。不过我相信有了我的抛砖引玉的工作之后，专家们会来一一指正的。这也就是维基百科存在的意义吧。

果然是地球发动机呀，写的那么好 --Dersonlwd Talk 12:41 2004年3月25日 (UTC)

词条“哥德尔不完备定理”中证明文字的矛盾与歧义

注：此疑问亦在“哥德尔不完备定理”的讨论页中提出http://wiki.zwnes.eu.org/wiki/Talk:%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86

关于此词条原文中以下部分我发现存在较大矛盾和歧义：

“象F(x)这样的公式含有一个自由变量x，它们称为命题形式。一旦x被一个特定的数代替，它就马上变成一个真正的特定命题，于是它要么是在系统中可证明的，要么不。命题形式自身并不是命题，因此不能被证明也不能能被否证。但每一个命题形式F(x)都有一个哥德尔数，可用G(F)表示。无论自由变量取什么值，G(F)的取值都不会改变。

通过小心地分析系统的公理和推理规则，可以写下一个命题形式P(x)，它表示x是系统中一个可以证明的命题的哥德尔数。形式描述如下：如果x是一个可证明命题对应的哥德尔数，P(x)就可被证明，而其否定~P(x)则不能。（尽管这对于一个证明要点来说已经足够，但在数学上却不太严格。请参见哥德尔和罗素的有关论文，关键字是“omega-consistency”。现在，哥德尔的把戏来了：一个命题形式F(x)称为不可自证的，当且仅当把命题形式F的哥德尔数G(F)代入F中所得的命题F(G(F))是不可证明的。这个定义可以形式化，于是可以构造一个命题形式SU(z)，表示z是某个不可自证命题形式的哥德尔数。SU(z)的形式描述如下：对某个命题形式F(x)有z = G(F)，而且设y是命题F(G(F))的哥德尔数，则有~P(y)成立。”

在原文中，先称哥德尔数是针对命题形式的，是不随命题形式中的变量x而改变的。而下文中却又对特定的命题给出哥德尔数。“它表示x是系统中一个可以证明的命题的哥德尔数”，“设y是命题F(G(F))的哥德尔数”

以上是难以理解的自相矛盾的。

也有可能是原文除了对命题形式还隐含了对命题的哥德尔数运算法则没有写出来（下文中会提到）

在此之前，由于对原文的进一步理解可能导致歧义，为了避免歧义我先做如下语法规定：

为了区别F是作为命题形式的一部分还是作为变量(只是这里的变量F是命题形式)，
我把所有命题形式中的变量用*代替以明确
（下文中引号内是引用原文故不一定遵守此语法规定，而引号外遵守此语法规定）
在这种语法规定下，G(F)和G(F(*))是不同的，
G(F)是个命题，F是赋予变量的值，命题形式是G(*)；
G(F(*))是命题形式，*是变量，赋值x后的命题是G(F(x))，
于是又存在一个问题：原文中的“G(F)”是G(F)还是G(F(*))，

假设原文隐含的运算法则是：一个命题F(x)的哥德尔数G(F(x))=G(F(*))，从而命题也有了哥德尔数，等于该命题的命题形式的哥德尔数。则由此推出原文的表达有2种可能的歧义

1.原文“G(F)”意为G(F)

原文：“当且仅当把命题形式F的哥德尔数G(F)代入F中所得的命题F(G(F))是不可证明的。”

此句中，“把G(F)代入”意为代入G(F)，故“命题F(G(F))”即是命题F(G(F))，F是变量，则其命题形式是*(G(*))。

原文：“对某个命题形式F(x)有z=G(F)，而且设y是命题F(G(F))的哥德尔数，则有~P(y)成立”

根据上句，此句中y=G(F(G(F)))=G(*(G(*)))，显然y的值是定值与F变化无关；

~P(y)是否成立则与命题F(G(F))是否不可证明有关，即与F变化有关

2.原文“G(F)”意为G(F(*))

原文：“当且仅当把命题形式F的哥德尔数G(F)代入F中所得的命题F(G(F))是不可证明的。”

此句中，“把G(F)代入”意为代入G(F(*))，故“命题F(G(F))”其实是命题F(G(F(x)))，x是变量，则其命题形式是F(G(F(*)))，

原文：“对某个命题形式F(x)有z = G(F)，而且设y是命题F(G(F))的哥德尔数，则有~P(y)成立”

根据上句，此句中y=G(F(G(F(x))))=G(F(G(F(*))))，此处"F"不再是变量而是固定的命题形式的一部分，也是固定的，y仍是定值与x变化无关；

~P(y)是否成立则与命题F(G(F(x)))是否不可证明有关，即与x变化有关

- 两种歧义相较而言，前者符号上与原文更接近。望高手们尽快对以上矛盾和歧义做出说明

Tammico (留言) 2008年11月29日 (六) 11:25 (UTC)[回复]

看过了英文版维基百科 en:Proof sketch for Gödel's first incompleteness theorem ，哥德尔编码是对系统内任何公式（formula）的，系统内任何公式都有自己的哥德尔数，不论其为命题形式，还是命题，抑或其他。英文版中证明过程只用到命题形式的哥德尔数和命题的证明的哥德尔数，而没有用到命题的哥德尔数。注意英文版中的命题形式 P 不同于现在中文版中的 P ，英文版中的 P 的主项为命题形式的哥德尔数，中文版的 P 的主项为命题的哥德尔数。

命题的哥德尔数不同于其可以对应到的命题形式的哥德尔数，而且不同命题有不同的哥德尔数，就算它们可以对应到相同命题形式，即是命题形式 F(x) 、命题 F(1) 和命题 F(2) 等的哥德尔数俩俩互不相同。 G(F(*)) 不是命题形式，也不是命题，它表示一个特定数值。 G(*) 不是命题形式，也不是命题，它是个函数（假若不要求函数的定义域为数字的集合）， G(F) 表示这个函数的一个特定于命题形式 F 的数值。

对于你说的第一种可能。 *(G(*)) 只是一群命题，而不是特定的命题形式， *(G(*)) 是一群由每个不同命题形式中的一个特定命题组成。 y=G(*(G(*))) 为一群数值。 y=G(F(G(F))) 为特定于命题形式 F 的一个值，依命题形式 F 不同而不同。

对于你说的第二种可能。当 F(x) 中的 x 是指变数符号时，命题形式 F(x) 的哥德尔数 G(F(x)) 不同于，当 F(x) 中的 x 是指特定数值时，命题 F(x) （例如 F(1) 、 F(2) ……）的哥德尔数。

条目中， G(F) 即为命题形式 F 的哥德尔数， F(G(F)) 为一命题，其来自命题形式 F 的主项代以该哥德尔数， G(F(G(F))) 为该命题的哥德尔数。

--LungZeno(talk) 2009年2月1日 (日) 19:15 (UTC)[回复]

弱化版本？

如果p可以证明，于是SU(G(SU))为真，根据SU的定义，z = G(SU)就是某个不可自证命题形式的哥德尔数。于是SU就是不可自证的，根据不可自证的定义，SU(G(SU))是不可证明的。这一矛盾说明p是不可证明的。

这里的第一个推导似乎依赖于公理系统的可靠性(Soundness），而可靠性强于相容性（Consistency）。以可靠性为前提的不完备定理是被弱化了的版本，希望有逻辑学的专业人士确认这里是不是有问题。

外部链接已修改

各位维基人：

我刚刚修改了哥德尔不完备定理中的1个外部链接，请大家仔细检查我的编辑。如果您有疑问，或者需要让机器人忽略某个链接甚至整个页面，请访问这个简单的FAQ获取更多信息。我进行了以下修改：

向 http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/ 中加入存档链接 https://web.archive.org/web/20060705205103/http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/

有关机器人修正错误的详情请参阅FAQ。

祝编安。—InternetArchiveBot (报告软件缺陷) 2017年8月10日 (四) 23:05 (UTC)[回复]

不同地区用词自动转换的问题

本文原文中的“相容”（consistent），在简体中文版本中会被自动转换为“兼容”，这是不对的。我见过的简体中文资料一般称为“一致”。我不确定简体中文是否也使用“相容”一词，所以暂不贸然修改。MaigoAkisame（留言） 2020年9月16日 (三) 00:35 (UTC)[回复]