討論:哥德爾不完備定理

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整個翻譯終於完成了，但還有些不滿意的地方。因本人水平有限，翻譯的粗糙、輸入錯誤當然在所難免，最重要的還是涉及到的眾多人名。因為不是專家，所以也不知道規範的譯名應該是什麼，所以很多時候只能保留英文原名。不過我相信有了我的拋磚引玉的工作之後，專家們會來一一指正的。這也就是維基百科存在的意義吧。

果然是地球發動機呀，寫的那麼好 --Dersonlwd Talk 12:41 2004年3月25日 (UTC)

詞條「哥德爾不完備定理」中證明文字的矛盾與歧義

註：此疑問亦在「哥德爾不完備定理」的討論頁中提出http://wiki.zwnes.eu.org/wiki/Talk:%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86

• 關於此詞條原文中以下部分我發現存在較大矛盾和歧義：

「象F(x)這樣的公式含有一個自由變量x，它們稱為命題形式。一旦x被一個特定的數代替，它就馬上變成一個真正的特定命題，於是它要麼是在系統中可證明的，要麼不。命題形式自身並不是命題，因此不能被證明也不能能被否證。但每一個命題形式F(x)都有一個哥德爾數，可用G(F)表示。無論自由變量取什麼值，G(F)的取值都不會改變。

通過小心地分析系統的公理和推理規則，可以寫下一個命題形式P(x)，它表示x是系統中一個可以證明的命題的哥德爾數。形式描述如下：如果x是一個可證明命題對應的哥德爾數，P(x)就可被證明，而其否定~P(x)則不能。（儘管這對於一個證明要點來說已經足夠，但在數學上卻不太嚴格。請參見哥德爾和羅素的有關論文，關鍵字是「omega-consistency」。 現在，哥德爾的把戲來了：一個命題形式F(x)稱為不可自證的，若且唯若把命題形式F的哥德爾數G(F)代入F中所得的命題F(G(F))是不可證明的。這個定義可以形式化，於是可以構造一個命題形式SU(z)，表示z是某個不可自證命題形式的哥德爾數。SU(z)的形式描述如下： 對某個命題形式F(x)有z = G(F)，而且設y是命題F(G(F))的哥德爾數，則有~P(y)成立。」

• 在原文中，先稱哥德爾數是針對命題形式的，是不隨命題形式中的變量x而改變的。而下文中卻又對特定的命題給出哥德爾數。「它表示x是系統中一個可以證明的命題的哥德爾數」，「設y是命題F(G(F))的哥德爾數」

以上是難以理解的自相矛盾的。

• 也有可能是原文除了對命題形式還隱含了對命題的哥德爾數運算法則沒有寫出來（下文中會提到）

在此之前，由於對原文的進一步理解可能導致歧義，為了避免歧義我先做如下語法規定：

为了区别F是作为命题形式的一部分还是作为变量(只是这里的变量F是命题形式)，
我把所有命题形式中的变量用*代替以明确
（下文中引号内是引用原文故不一定遵守此语法规定，而引号外遵守此语法规定）
在这种语法规定下，G(F)和G(F(*))是不同的，
G(F)是个命题，F是赋予变量的值，命题形式是G(*)；
G(F(*))是命题形式，*是变量，赋值x后的命题是G(F(x))，
于是又存在一个问题：原文中的“G(F)”是G(F)还是G(F(*))，

假設原文隱含的運算法則是：一個命題F(x)的哥德爾數G(F(x))=G(F(*))，從而命題也有了哥德爾數，等於該命題的命題形式的哥德爾數。則由此推出原文的表達有2種可能的歧義

1.原文「G(F)」意為G(F)

原文：「若且唯若把命題形式F的哥德爾數G(F)代入F中所得的命題F(G(F))是不可證明的。」

此句中，「把G(F)代入」意為代入G(F)， 故「命題F(G(F))」即是命題F(G(F))，F是變量，則其命題形式是*(G(*))。

原文：「對某個命題形式F(x)有z=G(F)，而且設y是命題F(G(F))的哥德爾數，則有~P(y)成立」

根據上句，此句中y=G(F(G(F)))=G(*(G(*)))，顯然y的值是定值與F變化無關；

~P(y)是否成立則與命題F(G(F))是否不可證明有關，即與F變化有關

2.原文「G(F)」意為G(F(*))

原文：「若且唯若把命題形式F的哥德爾數G(F)代入F中所得的命題F(G(F))是不可證明的。」

此句中，「把G(F)代入」意為代入G(F(*))， 故「命題F(G(F))」其實是命題F(G(F(x)))，x是變量，則其命題形式是F(G(F(*)))，

原文：「對某個命題形式F(x)有z = G(F)，而且設y是命題F(G(F))的哥德爾數，則有~P(y)成立」

根據上句，此句中y=G(F(G(F(x))))=G(F(G(F(*))))，此處"F"不再是變量而是固定的命題形式的一部分，也是固定的，y仍是定值與x變化無關；

~P(y)是否成立則與命題F(G(F(x)))是否不可證明有關，即與x變化有關

• • 兩種歧義相較而言，前者符號上與原文更接近。 望高手們儘快對以上矛盾和歧義做出說明

Tammico (留言) 2008年11月29日 (六) 11:25 (UTC)

看過了英文版維基百科 en:Proof sketch for Gödel's first incompleteness theorem ，哥德爾編碼是對系統內任何公式（formula）的，系統內任何公式都有自己的哥德爾數，不論其為命題形式，還是命題，抑或其他。英文版中證明過程只用到命題形式的哥德爾數和命題的證明的哥德爾數，而沒有用到命題的哥德爾數。注意英文版中的命題形式 P 不同於現在中文版中的 P ，英文版中的 P 的主項為命題形式的哥德爾數，中文版的 P 的主項為命題的哥德爾數。

命題的哥德爾數不同於其可以對應到的命題形式的哥德爾數，而且不同命題有不同的哥德爾數，就算它們可以對應到相同命題形式，即是命題形式 F(x) 、命題 F(1) 和命題 F(2) 等的哥德爾數倆倆互不相同。 G(F(*)) 不是命題形式，也不是命題，它表示一個特定數值。 G(*) 不是命題形式，也不是命題，它是個函數（假若不要求函數的定義域為數字的集合）， G(F) 表示這個函數的一個特定於命題形式 F 的數值。

對於你說的第一種可能。 *(G(*)) 只是一群命題，而不是特定的命題形式， *(G(*)) 是一群由每個不同命題形式中的一個特定命題組成。 y=G(*(G(*))) 為一群數值。 y=G(F(G(F))) 為特定於命題形式 F 的一個值，依命題形式 F 不同而不同。

對於你說的第二種可能。 當 F(x) 中的 x 是指變數符號時，命題形式 F(x) 的哥德爾數 G(F(x)) 不同於，當 F(x) 中的 x 是指特定數值時，命題 F(x) （例如 F(1) 、 F(2) ……）的哥德爾數。

條目中， G(F) 即為命題形式 F 的哥德爾數， F(G(F)) 為一命題，其來自命題形式 F 的主項代以該哥德爾數， G(F(G(F))) 為該命題的哥德爾數。

--LungZeno(talk) 2009年2月1日 (日) 19:15 (UTC)

弱化版本？

如果p可以證明，於是SU(G(SU))為真，根據SU的定義，z = G(SU)就是某個不可自證命題形式的哥德爾數。於是SU就是不可自證的，根據不可自證的定義，SU(G(SU))是不可證明的。這一矛盾說明p是不可證明的。

這裡的第一個推導似乎依賴於公理系統的可靠性(Soundness），而可靠性強於相容性（Consistency）。以可靠性為前提的不完備定理是被弱化了的版本，希望有邏輯學的專業人士確認這裡是不是有問題。

外部連結已修改

各位維基人：

我剛剛修改了哥德爾不完備定理中的1個外部連結，請大家仔細檢查我的編輯。如果您有疑問，或者需要讓機器人忽略某個連結甚至整個頁面，請訪問這個簡單的FAQ獲取更多信息。我進行了以下修改：

• 向 http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/ 中加入存檔連結 https://web.archive.org/web/20060705205103/http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/

有關機器人修正錯誤的詳情請參閱FAQ。

祝編安。—InternetArchiveBot (報告軟體缺陷) 2017年8月10日 (四) 23:05 (UTC)

不同地區用詞自動轉換的問題

本文原文中的「相容」（consistent），在簡體中文版本中會被自動轉換為「兼容」，這是不對的。我見過的簡體中文資料一般稱為「一致」。我不確定簡體中文是否也使用「相容」一詞，所以暫不貿然修改。MaigoAkisame（留言） 2020年9月16日 (三) 00:35 (UTC)