半立方抛物线

不同a值的半立方抛物线

半立方抛物线（cuspidal cubic）是一个参数式如下的平面代数曲线

$x=t^{2}\,$

$y=at^{3}.\,$

其隐方程为

$y^{2}-a^{2}x^{3}=0,$

可以求得y得到以下的式子

$y=\pm ax^{3 \over 2}.$

此三次平面曲线在原点有一尖点。

若令u = at, X = a²x，且令Y = a³y，可得

$X=u^{2}$

$Y=u^{3}.$

这意味著，针对任意的实数a，此曲线都可以位似变换到a = 1的曲线，也就是说，不同的a只对应不同的单位长度。

性质

有一种特殊的半立方抛物线，是抛物线的渐屈线，其方程式为

$x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.$

若将Tschirnhausen cubic catacaustic展开，可以证明也是半立方抛物线：

$x=3(t^{2}-3)=3t^{2}-9\,$

$y=t(t^{2}-3)=t^{3}-3t.\,$

半立方抛物线的另一个特性是其为等时曲线，也就是说一物体在其曲线上，因重力而往下移动，在相同的时间内会移动相同的距离。因此此曲线和等时降线有关，也是物体在不同的位置因重力同时往下移动，会在相同的时间到达最下方。此曲线也和最速降线问题有关，物体沿此轨迹，会从起点以最快速度到达终点。

半立方抛物线等时曲线的特性是由雅各布·伯努利为了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一个挑战，在1690年提出此曲线的特性。

外部链接

• 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Neile's Semi-cubical Parabola, MacTutor数学史档案 （英语）