半立方拋物線

不同a值的半立方拋物線

半立方拋物線（cuspidal cubic）是一個參數式如下的平面代數曲線

$x=t^{2}\,$

$y=at^{3}.\,$

其隱方程為

$y^{2}-a^{2}x^{3}=0,$

可以求得y得到以下的式子

$y=\pm ax^{3 \over 2}.$

此三次平面曲線在原點有一尖點。

若令u = at, X = a²x，且令Y = a³y，可得

$X=u^{2}$

$Y=u^{3}.$

這意味著，針對任意的實數a，此曲線都可以位似變換到a = 1的曲線，也就是說，不同的a只對應不同的單位長度。

性質

有一種特殊的半立方拋物線，是拋物線的漸屈線，其方程式為

$x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.$

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開，可以證明也是半立方拋物線：

$x=3(t^{2}-3)=3t^{2}-9\,$

$y=t(t^{2}-3)=t^{3}-3t.\,$

半立方拋物線的另一個特性是其為等時曲線，也就是說一物體在其曲線上，因重力而往下移動，在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關，也是物體在不同的位置因重力同時往下移動，會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關，物體沿此軌跡，會從起點以最快速度到達終點。

半立方拋物線等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·萊布尼茨在1687年提出的一個挑戰，在1690年提出此曲線的特性。

外部連結

• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Neile's Semi-cubical Parabola, MacTutor數學史檔案 （英語）