(z 2 − 1)(z − 2 − i )2 / z 2 + 2 + 2i 色相环复变函数图形 。色相 表示函数的辐角，饱和度 与明度 表示函数的幅值。复数 ，为实数 的延伸 ，它使任一多项式 方程 都有根 。复数当中有个“虚数单位 ”
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
平方根 ，即
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
x
+
y
i
{\displaystyle x+yi}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
复数的发现源于三次方程 的根的表达式 。数学上，“复”字表明所讨论的数体 为复数，如复矩阵 、复变函数 等。
形式上，复数系统可以定义为普通实数的虚数i的代数扩展 。这意味著复数可以作为变量i中的多项式进行加，减和乘，并施加规则
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
域 。
在几何上，复数通过将水平轴用于实部，将垂直轴用于虚部，将一维 数线 的概念扩展到二维 复平面 。这些数字的点位于复平面的垂直轴上。虚部 为零的复数可以看作是实数。
但是，复数允许使用更丰富的代数结构，其中包括在向量 空间中不一定可用的附加运算。例如，两个复数的乘积总是再次产生一个复数，并且不应将其误认为是涉及向量的常规“乘积”。
最早提到有关负数 的平方根 的文献出于公元1世纪古希腊数学家 亚历山卓的希罗 ，他考虑的是一种不可能的平顶金字塔的体积，计算结果会是
81
−
144
=
3
i
7
{\displaystyle {\sqrt {81-144}}=3i{\sqrt {7}}}
144
−
81
=
3
7
{\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}}
[ 1]
16世纪意大利数学家（请参看塔塔利亚 和卡尔达诺 ）得出一元三次 和四次方程式 的根的表达式，并发现即使只考虑实数根，仍不可避免面对负数方根。17世纪笛卡儿 称负数方根为虚数 ，“子虚乌有的数”，表达对此的无奈和不忿。18世纪初棣莫弗 及欧拉 大力推动复数的接受。1730年，棣莫弗提出棣莫弗公式 ：
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
而欧拉则在1748年提出分析学 中的欧拉公式 [ 2]
cos
θ
+
i
sin
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}
18世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔 提出复数可看作平面上的一点。[ 3] 高斯 再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早于1685年约翰·沃利斯 已经在De Algebra tractatus 提出此一观点。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy 上，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。他又考虑球体 ，得出四元数 并以此提出完备的球面三角学 理论。1804年，Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点，即以
±
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}
让-罗贝尔·阿尔冈 亦发表同类文章，而阿冈的复数平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及，他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。[ 4] 柯西 及阿贝尔 的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家 的注意，包括库默尔 （1844年）、克罗内克 （1845年）、Scheffler （1845年、1851年、1880年）、Bellavitis （1835年、1852年）、乔治·皮科克 （1845年）及德·摩根 （1849年）。莫比乌斯 发表了大量有关复数几何的短文，约翰·彼得·狄利克雷 将很多实数概念，例如质数 ，推广至复数。
费迪南·艾森斯坦 研究
a
+
b
j
{\displaystyle a+bj}
j
{\displaystyle j}
x
3
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-1=0}
x
k
−
1
=
0
{\displaystyle x^{k}-1=0}
k
{\displaystyle k}
完美数 理论，经由菲利克斯·克莱因 （1893年）以几何角度加以简化。伽罗华 其后提出更一般的推广——阿贝尔-鲁菲尼定理 ，解决了五次以上多项式 的根不能表达问题。
尽管可以使用其他表示法，复数通常写为如下形式：
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
这里的
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
实数 ，而i 是虚数单位 ，它有着性质
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
a
{\displaystyle a}
实部 ，而实数
b
{\displaystyle b}
虚部 。实数可以被认为是虚部为零的复数；就是说实数
a
{\displaystyle a}
a
+
0
i
{\displaystyle a+0i}
例如，
3
+
2
i
{\displaystyle 3+2i}
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
a
{\displaystyle a}
Re
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
ℜ
(
z
)
{\displaystyle \Re (z)}
b
{\displaystyle b}
Im
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
ℑ
(
z
)
{\displaystyle \Im (z)}
在某些领域（特别是电子工程 ，这里的i 是电流 的符号）中，虚部
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
a
+
j
b
{\displaystyle a+jb}
所有复数的集合 通常指示为
C
{\displaystyle C}
黑板粗体
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
子集 ，通过把实数的所有成员当作复数：
a
=
a
+
0
i
{\displaystyle a=a+0i}
复数中的虚数是无法比较大小的，即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。
两个复数是相等的，当且仅当 它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说，设
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
a
+
b
i
=
c
+
d
i
{\displaystyle a+bi=c+di}
a
=
c
{\displaystyle a=c}
b
=
d
{\displaystyle b=d}
通过形式上应用代数 的结合律 、交换律 和分配律 ，再加上等式
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
加法 ：
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
减法 ：
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
乘法 ：
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
+
b
d
i
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
b
c
+
a
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
除法 ：
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
b
i
)
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
(
c
−
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
−
a
d
i
−
b
d
i
2
c
2
−
(
d
i
)
2
=
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
c
2
+
d
2
=
(
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
)
+
(
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
)
i
{\displaystyle \,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bci-adi-bdi^{2}}{c^{2}-(di)^{2}}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i}
复数可定义为实数
a
,
b
{\displaystyle a,b}
有序对 ，而其相关之和 及积 为：
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
b
d
,
b
c
+
a
d
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}
复数数系是一个体 ，复数体常以
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
一个实数
a
{\displaystyle a}
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
子体 。虚数单位
i
{\displaystyle i}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
加法单位元 （“零元”）:
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
乘法单位元（“幺元”）:
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
加法逆元 :
(
−
a
,
−
b
)
{\displaystyle (-a,-b)}
非零
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
逆元 （倒数）:
(
a
a
2
+
b
2
,
−
b
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right)}
复数体亦可定为代数数 的拓扑闭包 或实数体的代数闭包 。
先把坐标轴画出来，横的叫实轴，竖的叫虚轴，然后确定0的位置，
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
z
{\displaystyle z}
阿甘得图 （得名于让-罗贝尔·阿冈 ，也叫做高斯 平面）的二维笛卡尔坐标系 内的一个点或位置向量 。这个点也就是这个复数
z
{\displaystyle z}
x
=
ℜ
z
{\displaystyle x=\Re z}
y
=
ℑ
z
{\displaystyle y=\Im z}
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
|
z
|
=
r
{\displaystyle |z|=r}
z
{\displaystyle z}
“绝对值 ” （“模 ” 、“幅值 ” 、“大小 ” ）。如果
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
对所有
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
|
z
|
−
|
w
|
≤
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle |z|-|w|\leq |z+w|\leq |z|+|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle |zw|=|z|\;|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}}
当定义了距离
d
(
z
,
w
)
=
|
z
−
w
|
{\displaystyle d(z,w)=\left|z-w\right|}
度量空间 ，我们亦可谈极限 和连续 。加法、乘法及除法都是连续的运算。
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
共轭复数 定义为
z
=
a
−
i
b
{\displaystyle z=a-ib}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}
z
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {z}}=z}
z
{\displaystyle z}
|
z
|
=
|
z
¯
|
{\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}
|
z
|
2
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}}
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
−
2
{\displaystyle z^{-1}={\overline {z}}|z|^{-2}}
z
{\displaystyle z}
对于所有代数运算
f
{\displaystyle f}
f
(
z
¯
)
=
f
(
z
)
¯
{\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}
正弦 “
sin
{\displaystyle \sin }
i
{\displaystyle i}
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
全纯函数 ）。
一复数
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
ϕ
{\displaystyle \phi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
对于乘法和除法分别有：
r
e
α
i
s
e
β
i
=
(
r
s
)
e
(
α
+
β
)
i
{\displaystyle \,re^{\alpha i}se^{\beta i}=(rs)e^{(\alpha +\beta )i}}
r
e
α
i
s
e
β
i
=
r
s
e
(
α
−
β
)
i
{\displaystyle \,{\frac {re^{\alpha i}}{se^{\beta i}}}={\frac {r}{s}}e^{(\alpha -\beta )i}}
X = A + B X = AB X = A *考虑一个平面 。一个点是原点0。另一个点是单位1。
两个点A 和B 的和 是点X = A + B 使得顶点 0, A , B 的三角形 和顶点X , B , A 的三角形是全等 的。
两个点A 和B 的积 是点X = AB 使得顶点0, 1, A 的三角形和顶点0 , B , X 的三角形是相似 的。
点A 的共轭复数 是点X = A * 使得顶点0, 1, A 的三角形和顶点0, 1, X 的三角形相互是镜像 。
复数
z
{\displaystyle z}
极坐标 来表示。
z
{\displaystyle z}
绝对值 或模 或大小 的
r
=
|
z
|
≥
0
{\displaystyle r=\left\vert z\right\vert \geq 0}
辐角 相位 的
φ
=
arg
z
{\displaystyle \varphi =\arg z}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
φ
{\displaystyle \varphi }
z
=
0
{\displaystyle z=0}
arg
0
=
0
{\displaystyle \arg 0=0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
φ
{\displaystyle \varphi }
0
{\displaystyle 0}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
φ
{\displaystyle \varphi }
模以
2
π
{\displaystyle 2\pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
φ
{\displaystyle \varphi }
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
−
π
<
φ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
极坐标形式的写法
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写c osi s in欧拉公式 还可以写为
z
=
r
e
i
φ
,
{\displaystyle z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,,}
这叫做“指数形式”。
x
=
r
cos
φ
{\displaystyle x=r\cos \varphi }
y
=
r
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \varphi }
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
+
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2 一个变体的反正切 函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:
φ
=
{
+
arccos
x
r
if
y
≥
0
and
r
≠
0
−
arccos
x
r
if
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
r
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}
在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式 得到
r
1
e
i
φ
1
⋅
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}
和
r
1
e
i
φ
1
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}
依据棣莫弗定理 做整数幂的指数运算，
(
r
e
i
φ
)
n
=
r
n
e
i
n
φ
{\displaystyle {\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }}
任意复数幂的指数运算在条目指数函数 中讨论。
两个复数的加法只是两个向量的向量加法 ，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以
i
{\displaystyle i}
度 (
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
弧度 )。方程
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
π
{\displaystyle \pi }
(
−
1
)
×
(
−
1
)
=
+
1
{\displaystyle (-1)\times (-1)=+1}
任何数的所有方根 ，实数或复数的，都可以用简单的算法 找到。
n
{\displaystyle n}
r
e
i
φ
n
=
r
n
e
i
(
φ
+
2
k
π
n
)
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
r
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
r
{\displaystyle r}
n
{\displaystyle n}
下表给出任何复数
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
加法 和乘法 的基本性质。
性质
加法
乘法
封闭性
a
+
b
∈
C
{\displaystyle a+b\in \mathbb {C} }
a
×
b
∈
C
{\displaystyle a\times b\in \mathbb {C} }
结合律
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
{\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}
交换律
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
a
×
b
=
b
×
a
{\displaystyle a\times b=b\times a}
存在单位元
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
a
×
1
=
a
{\displaystyle a\times 1=a}
存在逆元
a
+
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle a+(-a)=0}
a
×
1
a
=
1
(
a
≠
0
)
{\displaystyle a\times {\frac {1}{a}}=1\quad (a\neq 0)}
分配律
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c
{\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}
这是个实用价值不大，但具数学意义的表达式 ，是将复数看作能旋转 及缩放 二维位置矢量的2×2实数矩阵 ，即是
a
+
i
b
↔
(
a
−
b
b
a
)
=
r
[
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
]
=
r
exp
(
φ
[
0
−
1
1
0
]
)
,
{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}=r\exp \left(\varphi {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right),}
其中
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
−
b
b
a
)
=
a
(
1
0
0
1
)
+
b
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
即实数1对应着单位矩阵
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}}
而虚数单位
i
{\displaystyle i}
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
此矩阵令平面作逆时钟90度旋转，它的平方就是-1。
复数的绝对值就是行列式 的平方根 。这些矩阵对应相应的平面变换，其旋转角度等于复数的遍角，改变比例等于复数的绝对值。复数的轭就是矩阵的转置 。
若矩阵中的
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
四元数 。由此，矩阵代表法可看成代数的凯莱-迪克森结构法 。
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
实 线性空间 。[ 5] 全序 ：
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
有序体 。
满足
p
(
z
)
=
0
{\displaystyle p(z)=0}
z 是多项式
p
{\displaystyle p}
代数基本定理 指出，所有
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
代数闭体 。
事实上，复数体是实数体的代数闭包 。它是多项式 环
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
理想
⟨
X
2
+
1
⟩
{\displaystyle \left\langle X^{2}+1\right\rangle }
商环 ：
C
=
R
[
X
]
/
(
X
2
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
这是一个体因为
X
2
+
1
{\displaystyle X^{2}+1}
不可约多项式 ，而
X
{\displaystyle X}
i
{\displaystyle i}
复数体
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
体同构 来说）的体拥有三项代数特征:
而然，
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
同构 的子体 。
在
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
全序关系 ，即不存在一全序
⪯
{\displaystyle \preceq }
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
0
⪯
z
1
,
z
2
⇒
0
⪯
z
1
+
z
2
,
0
⪯
z
1
z
2
{\displaystyle 0\preceq z_{1},z_{2}\Rightarrow 0\preceq z_{1}+z_{2},0\preceq z_{1}z_{2}}
计算一个实数的复数幂是可以的。
a
z
{\displaystyle a^{z}}
e
z
⋅
ln
(
a
)
{\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}
研究复变函数的理论称为复分析 。它在应用数学 和其他数学分支上都有许多实际应用。实分析 和数论 的结果，最自然的证明经常是以复分析的技巧完成（例子可见质数定理 ）。
复变函数的图像是四维的，所以不像实变函数般可以用平面图像表示。要表示复变函数的图像，可以用有颜色的三维图像表达四维资讯，或者以动画表示函数对复平面的动态变换。
在系统分析 中，系统常常通过拉普拉斯变换 从时域 变换到频域 。因此可在复平面上分析系统的极点 和零点 。分析系统稳定性的根轨迹法 、奈奎斯特图法 和尼科尔斯图法 都是在复平面上进行的。
无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点
位于右半平面，则因果系统 不稳定；
都位于左半平面，则因果系统稳定；
位于虚轴上，则系统为临界稳定 的。 如果稳定系统的全部零点都位于左半平面，则这是个最小相位系统 。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统 。
信号分析 和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值
|
z
|
{\displaystyle \left\vert z\right\vert }
幅度 ，辐角
arg
z
{\displaystyle \arg z}
频率 的正弦波 的相位 。
利用傅里叶变换 可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：
f
(
t
)
=
z
e
i
ω
t
{\displaystyle f(t)=ze^{i\omega t}}
其中
ω
{\displaystyle \omega }
角频率 ，复数
z
{\displaystyle z}
电路 分析中，引入电容 、电感 与频率有关的虚部可以方便的将电压 、电流 的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母
j
{\displaystyle j}
i 混淆。）
在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常积分 ，借由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法
量子力学 中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数体上无限维的希尔伯特空间 。
如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义 和广义相对论 中的时空 度量张量 (Metric Tensor)方程。
实际应用中，求解给定差分方程 模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程 的所有复特征根r ，再将系统以形为f (t )= e rt 线性组合 表示。
复函数于流体力学 中可描述二维 势流 。
物理 和工程 领域中的交流 电路分析 ，使用到相量 作表达正弦信号 。
一些分形 如曼德博集合 和茹利亚集 （Julia set）是建基于复平面上的点的。
复数的平方根是可以计算的。其公式为
x
+
i
y
=
|
x
+
i
y
|
+
x
2
±
i
|
x
+
i
y
|
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}}
^ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √-1 . Princeton University Press . 2007 [20 April 2011] . ISBN 978-0-691-12798-9存档 于12 October 2012）. ^ Euler, Leonard. Introductio in Analysin Infinitorum [Introduction to the Analysis of the Infinite] vol. 1 . Lucerne, Switzerland: Marc Michel Bosquet & Co. 1748: 104 [2021-11-03 ] . （原始内容存档 于2021-11-21） （拉丁语） . ^ Wessel, Caspar. Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning [On the analytic representation of direction, an effort applied in particular to the determination of plane and spherical polygons] . Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [New Collection of the Writings of the Royal Danish Science Society]. 1799, 5 : 469–518 [2024-04-10 ] . （原始内容存档 于2024-04-09） （丹麦语） . ^ Gauss, Carl Friedrich. Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. [Theory of biquadratic residues. Second memoir.] . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 1831, 7 : 89–148 [2024-04-10 ] . （原始内容存档 于2024-04-09） （拉丁语） . ^ 缪龙骥. 從實數到複數 . 数学知识. [2014-10-22 ] . （原始内容存档 于2014-10-09）.
An Imaginary Tale: The Story of
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.Numbers , by H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert; Springer; ISBN 0-387-97497-0 (hardcover, 1991). An advanced perspective on the historical development of the concept of number.The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe , by Roger Penrose ; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8 . Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra , by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.Visual Complex Analysis , by Tristan Needham ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
可数集
自然数 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
整数 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
有理数 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
规矩数 代数数 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
周期 可计算数 可定义数 高斯整数 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
艾森斯坦整数 合成代数
可除代数 实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
凯莱－迪克森结构
实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
三十二元数 六十四元数 一百二十八元数 二百五十六元数…… 分裂 其他超复数 其他系统
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323e3ac46b83ad613903f31cc64c5c586f37627d)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10eb7386bd8efe4c5b5beafe05848fbd923e1413)
![{\displaystyle \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
![{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa9640da3f1e66d74b396640053c93122352dc1)
