逻辑异或

  “异或”和“互斥或”均重定向至此。关于逻辑门，请见“异或门”。

${\begin{smallmatrix}p\oplus q\end{smallmatrix}}$ 的文氏图

在数字逻辑中，逻辑算符互斥或（英语：Exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑分析类型。与一般的逻辑或不同，当两两数值相同时为否，而数值不同时为真。

对于命题 $p,q$，$p$异或$q$通常记作$p\operatorname {XOR} q$或$p\oplus q$。在编程语言中，常写作p ^ q。

逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的逻辑非是逻辑等价。

真值表

异或运算$p\oplus q$的真值表如下：

$p$	$q$	$p\oplus q$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
注：True：真，False：假。

无论怎样改变同一行中$p,q,p\oplus q$的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符逻辑与$\land$，逻辑或$\lor$和逻辑非$\lnot$表示为：

${\begin{aligned}p\oplus q&=(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)=p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\&=(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\&=(p\lor q)\land \lnot (p\land q)=(p+q)({\overline {pq}})\end{aligned}}$

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

$p\oplus q=\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))$

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质

交换律：$p\oplus q=q\oplus p$

结合律：$p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r$

恒等律：$p\oplus 0=p$

归零律：$p\oplus p=0$

对合运算：$p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p$

与抽象代数的关系

尽管算子$\wedge$（逻辑合取）与$\lor$（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统$(\{T,F\},\wedge )$ and $(\{T,F\},\lor )$只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统$(\{T,F\},\oplus )$是一个交换群。因此，算子$\wedge$与$\oplus$的结合在集合$\{T,F\}$上作用就产生了最基本的二元域$F_{2}$。这个域可以得出所有运用$(\land ,\lor )$可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

类似符号

名称	符号	Unicode	图形	符号的来源
地球	🜨	U+2295		带有赤道和一条经线的球体

应用

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}

虽然XOR运算可用来交换变数，但比起使用额外变数来交换变数的做法相比，效能反而比较差。

参见

• 异或门
• 异或密码