邏輯異或

  「異或」和「互斥或」均重新導向至此。關於邏輯門，請見「異或門」。

${\begin{smallmatrix}p\oplus q\end{smallmatrix}}$ 的文氏圖

在數位邏輯中，邏輯算符異或（英語：Exclusive or）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型。與一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。

對於命題 $p,q$，$p$異或$q$通常記作$p\operatorname {XOR} q$或$p\oplus q$。在程式語言中，常寫作p ^ q。

邏輯異或相當於邏輯不等價，或者說邏輯異或的邏輯非是邏輯等價。

真值表

異或運算$p\oplus q$的真值表如下：

$p$	$q$	$p\oplus q$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
註：True：真，False：假。

無論怎樣改變同一行中$p,q,p\oplus q$的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在數學和工程學中，常常用其他的邏輯運算子來表示異或算符。異或算符可以使用邏輯算符邏輯與$\land$，邏輯或$\lor$和邏輯非$\lnot$表示為：

${\begin{aligned}p\oplus q&=(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)=p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\&=(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\&=(p\lor q)\land \lnot (p\land q)=(p+q)({\overline {pq}})\end{aligned}}$

另外，異或算符可以被推廣，得到關於n個運算元的異或運算：n個運算元的n維異或的值為真若且唯若其中值為真的運算元有奇數個。

異或也可以被表示為：

$p\oplus q=\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))$

異或還可以看作是邏輯等價關係的非運算。

性質

交換律：$p\oplus q=q\oplus p$

結合律：$p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r$

恆等律：$p\oplus 0=p$

歸零律：$p\oplus p=0$

對合運算：$p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p$

與抽象代數的關係

儘管算子$\wedge$（邏輯合取）與$\lor$（邏輯析取）是邏輯系統中最為常見的算子，但結構上，系統$(\{T,F\},\wedge )$ and $(\{T,F\},\lor )$只是么半群。因此，這兩個系統無法合成為一個更大的結構，比如環或半環。

但是，帶有邏輯異或的系統$(\{T,F\},\oplus )$是一個交換群。因此，算子$\wedge$與$\oplus$的結合在集合$\{T,F\}$上作用就產生了最基本的二元域$F_{2}$。這個域可以得出所有運用$(\land ,\lor )$可以得到的結果，並且由於附帶了域的結構，可以進行代數上的進一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	🜨	U+2295		帶有赤道和一條經線的球體

應用

使用異或運算交換兩個 int 類型變數的數值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}

雖然XOR運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

參見

• 異或門
• 異或密碼