反函數
外觀
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在數學裡,反函數,也稱為逆函數(英語:Inverse function),為對一個定函數做逆運算的函數。
定義與存在性
[編輯]設為一函數,其定義域為,陪域為。如果存在一函數,其定義域和陪域分別為,並對任意有 、對任意有,則稱為的反函數,記之為。[註 1]
若一函數有反函數,便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要條件是該函數為雙射,即同時為單射和滿射。[1]
若為一實函數,還可通過水平線測試判斷其是否為單射、滿射或雙射。
與限制的關係
[編輯]一部分函數儘管本身不可逆,但它到其定義域的某個子集上的限制是可逆的。[2]例如
並不是單射,因和均為。但若取其到上的限制,則這一限制為雙射,並擁有反函數
反三角函數是限制定義域的另一個例子。正弦、餘弦等三角函數具有周期性,如
這意味着其並非單射。若要定義三角函數的反函數,則需要限定其定義域,如反正弦函數通常定義為正弦函數到上的限制的反函數。這一經過限制的定義域亦是反正弦函數的值域,稱作其主值。
性質
[編輯]- 原函數的定義域、值域分別是反函數的值域、定義域。
- 原函數與其反函數的函數圖像關於函數的圖像對稱。
- 嚴格單調函數一定存在反函數,且反函數與原函數的單調性一致。
- 擁有反函數的函數不一定是嚴格單調函數,例如
注釋
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. (原始內容存檔於2023-12-29).
- ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.