反函数

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

在数学里，反函数，也称为逆函数（英语：Inverse function），为对一个定函数做逆运算的函数。

定义与存在性

设$f$为一函数，其定义域为$X$，陪域为$Y$。如果存在一函数$g$，其定义域和陪域分别为$Y,\,X$，并对任意$x\in X$有 $g(f(x))=x$、对任意$y\in Y$有$f(g(y))=y$，则称$g$为$f$的反函数，记之为$f^{-1}$。

若一函数有反函数，便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。

若$f$为一实函数，还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。

与限制的关系

一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。例如

$f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}$

$f$并不是单射，因$f(1)$和$f(-1)$均为$1$。但若取其到$[0,\infty )$上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数

${f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.$

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如

$\sin(x+2\pi )=\sin(x),$

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值。

性质

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数$y=x$的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如$y=x^{-3}$

另见

• 值域
• 逆关系
• 反函数定理