離散傅里葉變換 （英語：Discrete Fourier Transform ，縮寫為DFT ），是傅里葉變換 在時域 和頻域 上都呈離散的形式，將信號的時域採樣變換為其DTFT 的頻域採樣。
在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列都是的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散 周期 信號 的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應當將其看作其周期延拓的變換。在實際應用中通常採用快速傅里葉變換 計算DFT。
離散傅立葉轉換，是連續傅立葉轉換在離散樣本上的類比，目前廣泛應用於信號處理、數值分析、數位通信、音訊處理等領域，在快速演算法問世，以及硬體設備的提升後，能夠更廣泛的應用在人們的日常生活當中，也是個非常重要的學問之一。
對於
N
{\displaystyle N}
{
x
[
n
]
}
0
≤
n
<
N
{\displaystyle \left\{x[n]\right\}_{0\leq n<N}}
x
^
[
k
]
=
∑
n
=
0
N
−
1
e
−
i
2
π
N
n
k
x
[
n
]
k
=
0
,
1
,
…
,
N
−
1.
{\displaystyle {\hat {x}}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i{\frac {2\pi }{N}}nk}x[n]\qquad k=0,1,\ldots ,N-1.}
其中
e
{\displaystyle e}
自然對數 的底數 ，
i
{\displaystyle i}
虛數單位 。通常以符號
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
x
^
=
F
x
{\displaystyle {\hat {x}}={\mathcal {F}}x}
離散傅里葉變換的逆變換（IDFT）為：
x
[
n
]
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
e
i
2
π
N
n
k
x
^
[
k
]
n
=
0
,
1
,
…
,
N
−
1.
{\displaystyle x\left[n\right]={1 \over N}\sum _{k=0}^{N-1}e^{i{\frac {2\pi }{N}}nk}{\hat {x}}[k]\qquad n=0,1,\ldots ,N-1.}
可以記為：
x
=
F
−
1
x
^
{\displaystyle x={\mathcal {F}}^{-1}{\hat {x}}}
實際上，DFT和IDFT變換式中和式前面的歸一化係數並不重要。在上面的定義中，DFT和IDFT前的係數分別為
1
{\displaystyle 1}
1
N
{\displaystyle {\frac {1}{N}}}
1
N
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}
連續時間信號
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
連續傅里葉變換
x
^
(
ω
)
{\displaystyle {\hat {x}}(\omega )}
離散信號 ，因此必須將
x
{\displaystyle x}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
假設
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
[
0
,
L
]
{\displaystyle [0,L]}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
d
i
s
c
r
e
t
e
(
t
)
{\displaystyle x_{discrete}(t)}
T
{\displaystyle T}
N
=
L
T
{\displaystyle N={\frac {L}{T}}}
x
d
i
s
c
r
e
t
e
(
t
)
=
x
(
t
)
∑
n
=
0
N
−
1
δ
(
t
−
n
T
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
(
n
T
)
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle x_{discrete}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{N-1}\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{N-1}x(nT)\delta (t-nT)}
它的傅里葉變換為
x
^
d
i
s
c
r
e
t
e
(
ω
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
(
n
T
)
F
δ
(
t
−
n
T
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
(
n
T
)
e
−
i
n
ω
T
{\displaystyle {\hat {x}}_{discrete}(\omega )=\sum _{n=0}^{N-1}x(nT){\mathcal {F}}\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-in\omega T}}
這就是
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
離散時間傅里葉變換 ，它在頻域依然是連續的。
下面將頻域信號轉化為有限長離散信號。與對時域信號的處理類似，假設頻域信號是帶限的，再經過離散化，即可得到有限長離散信號。依據採樣定理 ，頻域採樣若要能完全重建原信號，頻域信號
x
^
(
ω
)
{\displaystyle {\hat {x}}(\omega )}
(
0
,
1
2
T
)
{\displaystyle (0,{\frac {1}{2T}})}
[
0
,
L
]
{\displaystyle [0,L]}
1
/
L
{\displaystyle 1/L}
1
/
T
1
/
L
=
N
{\displaystyle {\frac {1/T}{1/L}}=N}
即頻域採樣的點數和時域採樣同為
N
{\displaystyle N}
{
ω
k
=
2
π
k
/
N
T
}
0
≤
k
<
N
{\displaystyle \{\omega _{k}={2\pi }k/NT\}_{0\leq k<N}}
x
^
[
k
]
=
x
^
d
i
s
c
r
e
t
e
(
ω
k
)
=
1
T
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
T
]
e
−
i
2
π
N
n
k
{\displaystyle {\hat {x}}[k]={\hat {x}}_{discrete}(\omega _{k})={\frac {1}{T}}\sum _{n=0}^{N-1}x[nT]e^{-i{\frac {2\pi }{N}}nk}}
令
T
=
1
{\displaystyle T=1}
下面考察離散傅里葉變換與連續傅里葉變換（CFT，Continuous Fourier Transform）的關係。連續傅里葉變換
F
x
(
t
)
=
x
^
(
ω
)
=
1
L
∫
0
L
x
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}x(t)={\hat {x}}(\omega )={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x(t)e^{-i\omega t}dt}
的採樣為：
x
^
(
ω
k
)
=
1
L
∫
0
L
x
(
t
)
e
−
i
ω
k
t
d
t
{\displaystyle {\hat {x}}(\omega _{k})={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x(t)e^{-i\omega _{k}t}dt}
將這個積分以黎曼和的形式近似，有：
x
^
(
ω
k
)
≈
1
L
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
−
i
ω
k
n
T
T
=
1
N
x
^
[
k
]
{\displaystyle {\hat {x}}(\omega _{k})\approx {\frac {1}{L}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i\omega _{k}nT}T={\frac {1}{N}}{\hat {x}}[k]}
這一結論指出離散傅里葉變換確實是連續傅里葉變換在某種意義上的近似。不過必須注意以下兩點：
時域採樣必須滿足採樣定理
離散傅里葉變換的處理對象是時限的 為此，通常對連續信號的時域採樣再做一次加窗處理（Windowing），這樣就得到帶限的有限長離散信號。
離散時間傅里葉變換（DTFT）是在時域上對連續傅里葉變換 的採樣。DFT則是在頻域上對DTFT的均勻採樣。離散信號
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
^
(
e
i
ω
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
−
i
n
ω
{\displaystyle {\hat {x}}(e^{i\omega })=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-in\omega }}
對
x
^
(
e
i
ω
)
{\displaystyle {\hat {x}}(e^{i\omega })}
{
ω
k
=
k
2
π
N
}
0
≤
k
<
N
{\displaystyle \{\omega _{k}=k{\frac {2\pi }{N}}\}_{0\leq k<N}}
x
^
[
k
]
=
x
^
(
e
i
ω
k
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
−
i
2
π
N
k
n
k
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle {\hat {x}}[k]={\hat {x}}(e^{i\omega _{k}})=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}\qquad k=0,\ldots ,N-1}
即為
x
{\displaystyle x}
x
^
[
k
]
{\displaystyle {\hat {x}}[k]}
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
柵欄 的縫隙中觀察景色，對於了解信號在整個頻域上的特性是不夠的。為了觀察到其他頻率的信息，需要對原信號
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
將原來在DTFT頻域上的採樣點數增加到
M
{\displaystyle M}
{
ω
k
′
=
e
i
k
2
π
M
}
0
≤
k
<
M
{\displaystyle \{\omega '_{k}=e^{ik{\frac {2\pi }{M}}}\}_{0\leq k<M}}
x
^
′
[
k
]
=
x
^
(
e
i
k
ω
k
′
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
−
i
2
π
M
k
n
{\displaystyle {\hat {x}}'[k]={\hat {x}}(e^{ik\omega '_{k}})=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i{\frac {2\pi }{M}}kn}}
若在序列
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
′
[
n
]
{\displaystyle x'[n]}
x
^
′
[
k
]
=
∑
n
=
0
M
−
1
x
′
[
n
]
e
−
i
2
π
M
k
n
=
F
x
′
{\displaystyle {\hat {x}}'[k]=\sum _{n=0}^{M-1}x'[n]e^{-i{\frac {2\pi }{M}}kn}={\mathcal {F}}x'}
因此將
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
N
{\displaystyle N}
2
π
/
N
{\displaystyle 2\pi /N}
柵欄效應 一節指出可以通過補零觀察到更多的頻點，但是這並不意味着補零能夠提高真正的頻譜分辨率。這是因為
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
′
[
n
]
{\displaystyle x'[n]}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
^
′
{\displaystyle {\hat {x}}'}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
M
{\displaystyle M}
x
′
{\displaystyle x'}
2
π
M
{\displaystyle {\frac {2\pi }{M}}}
x
^
′
{\displaystyle {\hat {x}}'}
周期為N的離散信號構成一個N 維歐幾里得空間
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}
x 和y 的內積 定義為
⟨
x
,
y
⟩
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
y
∗
[
n
]
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}x[n]y^{*}\left[n\right]}
下面給出
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}
正交基 ：
{
e
k
[
n
]
=
e
i
2
π
N
k
n
}
0
≤
k
<
N
{\displaystyle \{e_{k}[n]=e^{i{\frac {2\pi }{N}}kn}\}_{0\leq k<N}}
將信號x 在這組正交基上分解，得
x
=
∑
k
=
0
N
−
1
⟨
x
,
e
k
⟩
‖
e
k
‖
2
e
k
{\displaystyle x=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {\langle x,e_{k}\rangle }{\Vert e_{k}\Vert ^{2}}}e_{k}}
令
x
^
[
k
]
=
⟨
x
,
e
k
⟩
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
−
i
2
π
N
k
n
{\displaystyle {\hat {x}}[k]=\langle x,e_{k}\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}}
此即為離散傅里葉變換。又
‖
e
k
‖
2
=
N
{\displaystyle \|e_{k}\|^{2}=N}
則有
x
[
n
]
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
x
^
[
k
]
e
i
2
π
N
k
n
{\displaystyle x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\hat {x}}[k]e^{i{\frac {2\pi }{N}}kn}}
此即為離散傅里葉變換的逆變換。
由此可知，在正交分解的角度上說，離散周期信號
x
{\displaystyle x}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
x
{\displaystyle x}
{
e
k
}
{\displaystyle \{e_{k}\}}
線性變換 的角度上說，
{
e
k
}
{\displaystyle \{e_{k}\}}
圓周卷積 的特徵向量 ，
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
特徵值 。
根據卷積定理 ，離散信號x與y的圓周卷積 對偶於頻域上x與y離散傅里葉變換的乘積。下面揭示DFT與圓周卷積的內在關係。
對長為N的離散信號
x
~
{\displaystyle {\tilde {x}}}
y
~
{\displaystyle {\tilde {y}}}
x
~
[
n
]
{\displaystyle {\tilde {x}}[n]}
y
~
[
n
]
{\displaystyle {\tilde {y}}[n]}
0≤n<N 之外的值。如果將
x
~
{\displaystyle {\tilde {x}}}
y
~
{\displaystyle {\tilde {y}}}
x
[
n
]
=
x
~
[
n
mod
N
]
y
[
n
]
=
y
~
[
n
mod
N
]
{\displaystyle x[n]={\tilde {x}}[n\mod N]\qquad y[n]={\tilde {y}}[n\mod N]}
如此，周期為N的圓周卷積：
(
x
⊗
y
)
[
n
]
=
∑
m
=
0
N
−
1
x
[
m
]
y
[
n
−
m
]
=
∑
m
=
0
N
−
1
x
[
n
−
m
]
y
[
m
]
{\displaystyle (x\otimes y)[n]=\sum _{m=0}^{N-1}x[m]y[n-m]=\sum _{m=0}^{N-1}x[n-m]y[m]}
卷積的結果仍然是以N為周期的離散信號。
前面指出，
e
k
{\displaystyle e_{k}}
L
x
[
n
]
=
(
x
⊗
y
)
[
n
]
{\displaystyle {L}x[n]=(x\otimes y)[n]}
則
e
k
{\displaystyle e_{k}}
L
e
k
[
n
]
=
e
k
[
n
]
⋅
∑
m
=
0
N
−
1
y
[
m
]
e
k
[
−
m
]
{\displaystyle {L}e_{k}[n]=e_{k}[n]\cdot \sum _{m=0}^{N-1}y[m]e_{k}[-m]}
顯然，y的DFT
y
^
[
k
]
=
∑
m
=
0
N
−
1
y
[
m
]
e
k
[
−
m
]
{\displaystyle {\hat {y}}[k]=\sum _{m=0}^{N-1}y[m]e_{k}[-m]}
就是圓周卷積的特徵值。
離散傅里葉變換是可逆的線性變換
F
:
C
N
→
C
N
{\displaystyle {\mathcal {F}}:\mathbf {C} ^{N}\to \mathbf {C} ^{N}}
其中C 表示複數集 。即，任意N -維復向量都存在DFT和IDFT，而且其DFT和IDFT也是N -維復向量。
向量組exp（2πi kn/N ）是N -維複數空間上的一組正交基：
∑
n
=
0
N
−
1
(
e
2
π
i
N
k
n
)
(
e
−
2
π
i
N
k
′
n
)
=
N
δ
k
k
′
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}\left(e^{{\frac {2\pi i}{N}}kn}\right)\left(e^{-{\frac {2\pi i}{N}}k'n}\right)=N~\delta _{kk'}}
其中δkn Kronecker delta 。
時域信號序列
x
n
{\displaystyle x_{n}}
exp
(
2
π
i
n
m
/
N
)
{\displaystyle \exp(2\pi inm/N)}
m
{\displaystyle m}
X
k
{\displaystyle X_{k}}
X
(
(
k
−
m
)
)
N
{\displaystyle X_{((k-m))_{N}}}
k-m 對N 取余 。類似的，由對偶性，時域信號序列的循環移位對應於頻域信號序列的相移：
若
F
(
{
x
n
}
)
k
=
X
k
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}
則
F
(
{
x
n
e
2
π
i
N
n
m
}
)
k
=
X
k
−
m
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}e^{{\frac {2\pi i}{N}}nm}\})_{k}=X_{k-m}}
且有
F
(
{
x
n
−
m
}
)
k
=
X
k
e
−
2
π
i
N
k
m
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n-m}\})_{k}=X_{k}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}km}}
上文中DFT與DTFT 一節已經證明，離散序列的傅里葉變換是周期的。有限長序列
x
n
{\displaystyle x_{n}}
X
k
{\displaystyle X_{k}}
x
~
n
=
x
n
m
o
d
N
{\displaystyle {\tilde {x}}_{n}=x_{n\ mod\ N}}
X
~
k
{\displaystyle {\tilde {X}}_{k}}
X
k
{\displaystyle X_{k}}
上一節的移位定理隱含着DFT的周期性，因為DFT的幅度
|
X
k
|
{\displaystyle |X_{k}|}
差分方程 時，就假設邊界條件是滿足周期性的，這是一個很有用的性質（參見應用 ）。
如果X k Y k x n y n 普朗歇爾定理 ：
∑
n
=
0
N
−
1
x
n
y
n
∗
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
X
k
Y
k
∗
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}
其中星號表示復共扼。帕塞瓦爾定理 是普朗歇爾定理的一個特例：
∑
n
=
0
N
−
1
|
x
n
|
2
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
|
X
k
|
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}.}
DFT在諸多多領域中有着重要應用，下面僅是頡取的幾個例子。需要指出的是，所有DFT的實際應用都依賴於計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換 。
快速傅立葉轉換（Fast Fourier Transform，簡稱FFT）是一種用來高效計算離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform，DFT）及其反轉換的演算法。傅立葉轉換是一種數學變換，用來將信號從時間域或空間域轉換到頻率域。這在信號處理、圖像處理、數據分析等領域有著廣泛的應用。傳統的DFT計算複雜度較高，約為
O
(
n
2
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})}
O
(
n
log
n
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(n\log n)}
[ 編輯 ] 庫利－圖基演算法是一種用於快速計算離散傅立葉轉換的方法，通過分治法策略(Divide-and-conquer)將一個長度為N的DFT分解為多個較小長度的DFT。這使得它特別適合處理長度為2的冪次方的序列，但實際上也適用於其他因數分解形式的序列。庫利和圖基在1965年首次提出這個方法，但類似的概念早在1805年由高斯提出。
[ 編輯 ] 可以視為庫利－圖基演算法的一種推廣，使用不只是以2作為基底，以其他數字做為基底的快速演算法。
[ 編輯 ] 互質因子算法，又稱Good–Thomas算法，是一種用於快速傅立葉變換（FFT）的算法。它將大小為
N
=
N
1
N
2
{\displaystyle N=N_{1}N_{2}}
N
1
×
N
2
{\displaystyle N_{1}\times \ N_{2}}
N
1
{\displaystyle N_{1}}
N
2
{\displaystyle N_{2}}
[ 編輯 ] 此演算法在1958年被傑拉德 · 格策爾 所提出。
此算法，使用數字濾波方法計算離散傅立葉轉換（DFT）係數和信號頻譜。修改後的格策爾演算法可以用來計算信號頻譜，而無需像DFT算法那樣涉及複雜的代數計算。
啁啾-Z轉換（Chirp-Z transform）是一種離散傅立葉轉換（DFT）的擴展算法，適用於當取樣頻率間隔與取樣時間間隔的乘積不等於信號的時頻分佈面積時的情況。它利用卷積來實現任意大小的DFT，從而加快計算速度，是一種基於快速傅立葉轉換（FFT）的高效算法。
此外，啁啾-Z變換也是一種用於評估非單位圓上的Z變換的算法。
[ 編輯 ] 由以色列裔美國計算機科學家Shmuel Winograd於1976年提出的，是一種改進型的快速傅立葉轉換（FFT）算法，旨在進一步提高計算效率和速度。此演算法使用的加法數量與庫利-圖基演算法大致相同，但其所需的乘法數量只有其演算法的約20%。
前面指出，DFT是連續傅里葉變換的近似 。因此可以對連續信號x（t）均勻採樣並截斷以得到有限長的離散序列
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}\,}
奈奎斯特頻率 ）消減混疊 。選擇適當的序列長度並加窗可以抑制頻譜泄漏。
由於人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點將語音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應於信號的細節，濾除高頻信號可以在人類感官可以接受的範圍內獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅里葉變換完成的。將時域或空域的信號轉換到頻域，僅儲存或傳輸較低頻率上的係數，在解壓縮端採用逆變換即可重建信號。
離散傅里葉變換及其多維形式在偏微分方程的求解中也有應用。此時DFT被看作傅里葉級數 的近似。傅里葉級數將函數在復指數e inx d /dx e inx in e inx
目前長整數 或多項式 乘法 最快速的算法是基於離散傅里葉變換的。由於整數（或多項式）乘法是逐位（或逐項）乘累加的形式，因此整數（或多項式）乘積的數字（或係數）可以用乘數數字（或乘式係數）的卷積 表示。利用卷積定理 ，只要將數字（或係數）序列通過離散傅里葉變換變到頻域，就可以將逐個乘累加的卷積變為對位的乘法，從而減少計算量，再以一次逆變換便可以得到乘法結果。需要注意整數乘法還有進位 的問題。下面以多項式乘法為例說明這一應用：
假設需要計算多項式乘法c (x ) = a (x )·b （x ），這一乘積結果的各項係數的表達式實際上是線性卷積的形式。由於離散傅里葉變換對應於圓周卷積，因此需要將這兩個乘式的係數按照次數升序排列，序列後「補零」，使它們的長度d 大於兩式最高項次數的和：d > deg(a (x )) + deg(b (x ))。然後作圓周卷積：
c
=
a
⊗
b
{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }
其中c 就是c (x )係數的向量。由於圓周卷積的DFT是乘積，有：
F
c
=
F
a
⋅
F
b
{\displaystyle {\mathcal {F}}\mathbf {c} ={\mathcal {F}}\mathbf {a} \cdot {\mathcal {F}}\mathbf {b} }
則
c
=
F
−
1
(
F
a
⋅
F
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} ={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}\mathbf {a} \cdot {\mathcal {F}}\mathbf {b} )}
利用快速傅里葉變換，這一算法的運算複雜度為
O
(
N
log
N
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(N\log N)}
OFDM（正交頻分復用）在寬帶無線通信 中有重要的應用。這種技術將帶寬分為N 個等間隔的子載波，可以證明這些子載波相互正交。尤其重要的是，OFDM調製可以由IDFT實現，而解調可以由DFT實現。OFDM還利用DFT的移位性質，在每個幀頭部加上循環前綴（Cyclic Prefix），使得只要信道延時小於循環前綴的長度，就能消除信道延時對傳輸的影響。
數論轉換 是一種可以計算摺積 的快速演算法。計算摺積的快速演算法中最常用的一種是使用快速傅里葉變換 ，然而快速傅立葉變換具有一些實現上的缺點，舉例來說，資料向量必須乘上複數 係數的矩陣加以處理，而且每個複數係數的實部和虛部是一個正弦 及餘弦 函數，因此大部分的係數都是浮點數 ，也就是說，必須做複數而且是浮點數的運算，因此計算量會比較大，而且浮點數運算產生的誤差會比較大。
而在數論轉換中，資料向量需要乘上的矩陣是一個整數 的矩陣，因此不需要作浮點數的乘法運算，更進一步，在模數為的情況下，只有種可能的加法與種可能的乘法，這可以使用記憶體把這些有限數目的加法和乘法存起來，利用查表法來計算，使得數論轉換完全不須任何乘法與加法運算，不過需要較大的記憶體與消耗較大的存取記憶體量。
雖然使用數論轉換可以降低計算摺積的複雜度，不過由於只進行整數的運算，所以只能用於對整數 的訊號計算摺積，而利用快速傅立葉變換可以對任何複數的訊號計算摺積，這是降低運算複雜度所要付出的代價，也不一定所有信號都可以找到適合做數論轉換的質數。
F
=
Z
/
p
{\displaystyle F=Z/p}
模運算 而取得的，
p
{\displaystyle p}
質數 ，如此可以建構出有限域 ，並且存在
n
{\displaystyle n}
(
p
−
1
)
{\displaystyle (p-1)}
實數 根。如此可以得到
p
=
k
⋅
n
+
1
{\displaystyle p=k\cdot n+1}
k
{\displaystyle k}
ω
{\displaystyle \omega }
(
p
−
1
)
{\displaystyle (p-1)}
單位根 ，則第
n
{\displaystyle n}
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
ω
k
{\displaystyle \alpha =\omega ^{k}}
N
{\displaystyle N}
α
{\displaystyle \alpha }
p
{\displaystyle p}
F
[
k
]
=
∑
n
=
0
N
−
1
f
[
n
]
α
n
k
(
mod
M
)
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]\alpha ^{nk}{\pmod {M}}\quad k=0,1,2,\ldots ,N-1}
f
[
n
]
=
N
−
1
∑
k
=
0
N
−
1
F
[
k
]
α
−
n
k
(
mod
M
)
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle f[n]=N^{-1}\sum _{k=0}^{N-1}F[k]\alpha ^{-nk}{\pmod {M}}\quad n=0,1,2,\ldots ,N-1}
其中有幾點限制以及應該注意的事項:
1.M應是一個質數
2.N應該是M-1的因數
3.
N
−
1
{\displaystyle N^{-1}}
N
−
1
{\displaystyle N^{-1}}
N
{\displaystyle N}
N
−
1
{\displaystyle N^{-1}}
4.
α
{\displaystyle \alpha }
舉個例子來說，當
p
=
5
,
α
=
2
{\displaystyle p=5,\alpha =2}
α
1
=
2
(
m
o
d
5
)
{\displaystyle \alpha ^{1}=2\qquad (mod\quad 5)}
α
2
=
4
(
m
o
d
5
)
{\displaystyle \alpha ^{2}=4\qquad (mod\quad 5)}
α
3
=
3
(
m
o
d
5
)
{\displaystyle \alpha ^{3}=3\qquad (mod\quad 5)}
α
4
=
1
(
m
o
d
5
)
{\displaystyle \alpha ^{4}=1\qquad (mod\quad 5)}
因為
α
4
{\displaystyle \alpha ^{4}}
5
{\displaystyle 5}
1
{\displaystyle 1}
4
{\displaystyle 4}
N
=
4
{\displaystyle N=4}
N
{\displaystyle N}
(
p
−
1
)
{\displaystyle (p-1)}
[
F
(
0
)
F
(
1
)
F
(
2
)
F
(
3
)
]
=
[
1
1
1
1
1
2
4
3
1
4
1
4
1
3
4
2
]
[
f
(
0
)
f
(
1
)
f
(
2
)
f
(
3
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}F(0)\\F(1)\\F(2)\\F(3)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&2&4&3\\1&4&1&4\\1&3&4&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0)\\f(1)\\f(2)\\f(3)\end{bmatrix}}}
在一些特殊的情況下，令
F
=
Z
/
m
{\displaystyle F=Z/m}
m
{\displaystyle m}
Fermat Number Transform 中
(
m
=
2
k
+
1
)
{\displaystyle (m=2^{k}+1)}
Mersenne Number Transform 中
(
m
=
2
k
−
1
)
{\displaystyle (m=2^{k}-1)}
前面提到數論轉換是一種離散傅立葉轉換的特例，因此數論轉換具有許多離散傅立葉轉換的數學性質。
若F[k]為f[n]的數論轉換結果，即f[n]→F[k](NTT)
矩陣中的每個行或列，彼此正交，即任兩個行或列的內積為0
∑
n
=
0
N
−
1
α
n
l
α
−
n
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
α
n
(
k
−
l
)
=
N
δ
k
t
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}\alpha ^{nl}\alpha ^{-nk}=\sum _{n=0}^{N-1}\alpha ^{n(k-l)}=N\delta _{kt}}
證明:
當
k
=
l
{\displaystyle k=l}
S
N
=
∑
n
=
0
N
−
1
α
n
(
0
)
=
N
{\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N-1}\alpha ^{n(0)}=N}
當
k
≠
0
{\displaystyle k\neq 0}
(
α
n
(
k
−
l
)
−
1
)
S
N
=
(
α
n
(
k
−
l
)
−
1
)
∑
n
=
0
N
−
1
α
n
(
k
−
l
)
=
α
N
(
k
−
l
)
−
1
=
1
−
1
=
0
{\displaystyle (\alpha ^{n(k-l)}-1)S_{N}=(\alpha ^{n(k-l)}-1)\sum _{n=0}^{N-1}\alpha ^{n(k-l)}=\alpha ^{N(k-l)}-1=1-1=0}
NTT 符合線性轉換，即：
F
[
k
1
+
k
2
]
=
f
[
n
1
]
+
f
[
n
2
]
{\displaystyle F[k_{1}+k_{2}]=f[n_{1}]+f[n_{2}]}
並且對於常數 c 有：
F
[
c
k
]
=
c
F
[
k
]
{\displaystyle F[ck]=cF[k]}
若
f
[
n
]
↔
F
[
k
]
{\displaystyle f[n]\leftrightarrow F[k]}
−
f
[
n
]
↔
−
F
[
k
]
{\displaystyle -f[n]\leftrightarrow -F[k]}
若
f
[
n
]
↔
F
[
k
]
{\displaystyle f[n]\leftrightarrow F[k]}
f
[
n
+
l
]
↔
α
−
l
k
F
[
k
]
{\displaystyle f[n+l]\leftrightarrow \alpha ^{-lk}F[k]}
f
[
n
]
α
n
l
↔
F
[
k
+
l
]
{\displaystyle f[n]\alpha ^{nl}\leftrightarrow F[k+l]}
NTT 變換是可逆的，存在反轉換 INTT 使得：
INTT(NTT(n))=n
若
f
[
n
]
{\displaystyle f[n]}
f
[
n
]
=
f
[
N
−
n
]
{\displaystyle f[n]=f[N-n]}
f
[
n
]
{\displaystyle f[n]}
F
[
k
]
{\displaystyle F[k]}
F
[
k
]
=
F
[
N
−
k
]
{\displaystyle F[k]=F[N-k]}
若
f
[
n
]
=
−
f
[
N
−
n
]
{\displaystyle f[n]=-f[N-n]}
f
[
n
]
{\displaystyle f[n]}
F
[
k
]
{\displaystyle F[k]}
F
[
k
]
=
−
F
[
N
−
k
]
{\displaystyle F[k]=-F[N-k]}
此性質在線性非時變系統當中非常重要，NTT的主要應用多與此性質有關。
若考慮兩個信號，
f
[
n
1
]
↔
F
[
k
1
]
{\displaystyle f[n_{1}]\leftrightarrow F[k_{1}]}
f
[
n
2
]
↔
F
[
k
2
]
{\displaystyle f[n_{2}]\leftrightarrow F[k_{2}]}
f
[
n
1
]
∗
f
[
n
2
]
↔
F
[
k
1
]
F
[
k
2
]
(
mod
m
)
{\displaystyle f[n_{1}]*f[n_{2}]\leftrightarrow F[k_{1}]F[k_{2}]{\pmod {m}}}
f
[
n
1
]
f
[
n
2
]
↔
F
[
k
1
]
∗
F
[
k
2
]
(
mod
m
)
{\displaystyle f[n_{1}]f[n_{2}]\leftrightarrow F[k_{1}]*F[k_{2}]{\pmod {m}}}
1.使用整數進行計算，計算較容易，也可以節省記憶體空間。
2.使用整數不會像浮點數一樣產生誤差，可以非常精確地計算。
3.很多性質都跟離散傅立葉轉換相同。
1.只能對整數做計算，若信號為非整數，可能需要事先處理。
2.不容易找到root of unity，即不容易找到合適的對數轉換。
3.相對而言缺乏物理意義。
Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing , Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
Mallat, S., A Wavelet Tour of Signal Processing, Second Edition , Academic Press, ISBN 0-12-466606-x
Gill, J., Fourier Transform and Its Applications （[1] （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ））
Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2024
Duhamel, Pierre, and Martin Vetterli. "Fast Fourier transforms: a tutorial review and a state of the art." Signal processing 19.4 (1990): 259-299.
![{\displaystyle \left\{x[n]\right\}_{0\leq n<N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883dc532309399593abe489d2c982030882b92df)
![{\displaystyle {\hat {x}}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i{\frac {2\pi }{N}}nk}x[n]\qquad k=0,1,\ldots ,N-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526d8c9103309b720516b7ee79e79186b15c81e3)
![{\displaystyle x\left[n\right]={1 \over N}\sum _{k=0}^{N-1}e^{i{\frac {2\pi }{N}}nk}{\hat {x}}[k]\qquad n=0,1,\ldots ,N-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d2a9e7f31ef1b808bfbc8d2355aff7703c2064)
![{\displaystyle [0,L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e3bfad6c2b8297e8c8d2e84ce8f869d69b0d86)
![{\displaystyle {\hat {x}}[k]={\hat {x}}_{discrete}(\omega _{k})={\frac {1}{T}}\sum _{n=0}^{N-1}x[nT]e^{-i{\frac {2\pi }{N}}nk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83eedd5085dd500d5f7d7d2f03b6dfd7e4bdbbd6)
![{\displaystyle {\hat {x}}(\omega _{k})\approx {\frac {1}{L}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i\omega _{k}nT}T={\frac {1}{N}}{\hat {x}}[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103c335c7408247ff029a6e4ac8493dc57dc62ad)
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle {\hat {x}}(e^{i\omega })=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-in\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d079d9387528481918eb9e2ac9686fc8ffe2f2a2)
![{\displaystyle {\hat {x}}[k]={\hat {x}}(e^{i\omega _{k}})=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}\qquad k=0,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495f6951be5f0273e07cef0bb64e7ee5310ffe76)
![{\displaystyle {\hat {x}}[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a06c5cd662791be7e5195c1ce21418a1a7a56c)
![{\displaystyle {\hat {x}}'[k]={\hat {x}}(e^{ik\omega '_{k}})=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i{\frac {2\pi }{M}}kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ec3d791f0da32c11d497d7aad5b70fb3163dad)
![{\displaystyle x'[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c7d9f6b3047f4fccbbc9addd6947c3e0ac3a7e)
![{\displaystyle {\hat {x}}'[k]=\sum _{n=0}^{M-1}x'[n]e^{-i{\frac {2\pi }{M}}kn}={\mathcal {F}}x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bd0debc1aae0f960082ae3e65075f333c42a6c)
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}x[n]y^{*}\left[n\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13ff7fffea851e9c9109597a0cf4a5e0a2e809c)
![{\displaystyle \{e_{k}[n]=e^{i{\frac {2\pi }{N}}kn}\}_{0\leq k<N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbced45f701fbae40d8b8fd9c99d1bd3446f8c41)
![{\displaystyle {\hat {x}}[k]=\langle x,e_{k}\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff3e84cd3d83f4333434301d3401c57905daad6)
![{\displaystyle x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\hat {x}}[k]e^{i{\frac {2\pi }{N}}kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3769784fd1b1f283a74910baa632a264c2fc43)
![{\displaystyle {\tilde {x}}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0b944d1740999c970befbae73c94687b80ee69)
![{\displaystyle {\tilde {y}}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa564a407730408eec6f4ff38eae230727e1fa8d)
![{\displaystyle x[n]={\tilde {x}}[n\mod N]\qquad y[n]={\tilde {y}}[n\mod N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f396b14bdc802a2c20c608c365062425239c40)
![{\displaystyle (x\otimes y)[n]=\sum _{m=0}^{N-1}x[m]y[n-m]=\sum _{m=0}^{N-1}x[n-m]y[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cd79279dadc66db4a8b6d0413387726080ae18)
![{\displaystyle {L}x[n]=(x\otimes y)[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb0cb170e7a883a32425b17e4bf273eb55ab2cb)
![{\displaystyle {L}e_{k}[n]=e_{k}[n]\cdot \sum _{m=0}^{N-1}y[m]e_{k}[-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a8d0c0bd4ab397e90060a7998ff030c02561cd)
![{\displaystyle {\hat {y}}[k]=\sum _{m=0}^{N-1}y[m]e_{k}[-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875bba0bc3622841463d9b5c27b33d08c0e27ca7)
![{\displaystyle F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]\alpha ^{nk}{\pmod {M}}\quad k=0,1,2,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5ae80e3c29d7fc911df70abbcd11a02b956e9d)
![{\displaystyle f[n]=N^{-1}\sum _{k=0}^{N-1}F[k]\alpha ^{-nk}{\pmod {M}}\quad n=0,1,2,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc04903b711ec40cd564e396963030274d7f3253)
![{\displaystyle F[k_{1}+k_{2}]=f[n_{1}]+f[n_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8221b5124e0a8c2be9b0788ce18149a7fec9b2a8)
![{\displaystyle F[ck]=cF[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8300a2e0e86abab4fc57e891881af254ce3569ef)
![{\displaystyle f[n]\leftrightarrow F[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c270965e7225021b5807cb2a0bc0082c717d1c0)
![{\displaystyle -f[n]\leftrightarrow -F[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dff1cadd3aec0e7ef388de6bc8b2da9326de3f0)
![{\displaystyle f[n+l]\leftrightarrow \alpha ^{-lk}F[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556178f16e9f3cdd487e45089246924a19846ea4)
![{\displaystyle f[n]\alpha ^{nl}\leftrightarrow F[k+l]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740c0342528c72337ccff5ead61d2768509a2d4b)
![{\displaystyle f[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b176b3dbcced447341ad5ab70001ef0e3231062e)
![{\displaystyle f[n]=f[N-n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be38aeb60f3dc3b84bddbdb1860fe384c49237c)
![{\displaystyle F[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1a4da8ed199ca114765442e28d409694b6485f)
![{\displaystyle F[k]=F[N-k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012a5775e172f5beee85cdc07097534631c3976f)
![{\displaystyle f[n]=-f[N-n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bfea3756093c07cb80fa7f8eb015beff5ae936)
![{\displaystyle F[k]=-F[N-k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6808e18eebce96aa50d295e7e399439c3567ed7)
![{\displaystyle f[n_{1}]\leftrightarrow F[k_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3360f5f1d9d26a35b15b4cf6d67696f42a6842)
![{\displaystyle f[n_{2}]\leftrightarrow F[k_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9f59704e0e2ddb50e4f07e6468f9e8593eec24)
![{\displaystyle f[n_{1}]*f[n_{2}]\leftrightarrow F[k_{1}]F[k_{2}]{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975d26daa29cb3cb64f425b6138d027990328bfc)
![{\displaystyle f[n_{1}]f[n_{2}]\leftrightarrow F[k_{1}]*F[k_{2}]{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0509df49aff3dcbc96c66f89a53091f32725c397)