貝爾數

貝爾數（英語：Bell number）是組合數學中的一組整數數列，以埃里克·坦普爾·貝爾命名，首幾個貝爾數為：

Bell Number

$B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \dots$ （OEIS數列A000110）

性質

$B_{n}$是基數為$n$的集合的劃分方法的數目。集合$S$的劃分是$S$的兩兩不相交的非空子集的族，它們的並是$S$。例如，$B_{3}=5$，因為有3個元素的集合$\{a,b,c\}$有5種不同的劃分方法： 。

$\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$

$\{\{a\},\{b,c\}\}$

$\{\{b\},\{a,c\}\}$

$\{\{c\},\{a,b\}\}$

$\{a,b,c\}$;

$B_{0}=1$因為空集正好有1種劃分方法。空集的每個成員都是非空集合（這是Vacuous truth，因為空集實際上沒有成員），而它們的並是空集本身。所以空集是它的唯一劃分。

貝爾數滿足遞推公式：

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}}.$

上述組合公式的證明：

可以這樣來想，$B_{n+1}$是含有n+1個元素集合的劃分的個數，考慮元素$b_{n+1}.$

假設他被單獨劃分到一類，那麼還剩下n個元素，這種情況下劃分個數為${n \choose n}B_{n}$；

假設他和某一個元素被劃分為一類，那麼還剩下n-1個元素，這種情況下劃分個數為 ${n \choose n-1}B_{n-1}$；

假設他和某兩個元素被劃分為一類，那麼還剩下n-2個元素，這種情況下劃分個數為 ${n \choose n-2}B_{n-2}$；

依次類推，得到了上述組合公式

它們也適合「Dobinski公式」：

$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$期望值為1的泊松分數的n次矩。

它們也適合「Touchard同餘」：若p是任意質數，那麼

$B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ (\operatorname {mod} \ p).$

每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k).$

Stirling數S（n, k）是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。

把任一概率分佈的n次矩以首n個累積量表示的多項式，其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。

貝爾數的指數母函數是

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.$

貝爾三角形

用以下方法建構一個三角矩陣（形式類似楊輝三角形）：

• 第一行第一項是1（$a_{1,1}=1$）
• 對於n>1，第n行第一項等同第n-1行最後一項。（$a_{n,1}=a_{n-1,n-1}$）
• 對於m,n>1，第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。（$a_{n,m}=a_{n,m-1}+a_{n-1,m-1}$）

結果如下：（OEIS:A011971）

${\begin{array}{cccccccccccccccccc}1\\1&&&&2&&&&\\2&&&&3&&&&5&&&&\\5&&&&7&&&&10&&&&15&&&&\\15&&&&20&&&&27&&&&37&&&&52&&&&\\52&&&&67&&&&87&&&&114&&&&151&&&&203&&&&\\203&&&&255&&&&322&&&&409&&&&523&&&&674&&&&877&&&&\\877&&&&1080&&&&1335&&&&1657&&&&2066&&&&2589&&&&3263&&&&4140&&&&\\\end{array}}$

每行首項是貝爾數。每行之和是第二類Stirling數。

這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。

參考

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9059