逆轉換抽樣

正態分布的逆變換採樣

逆變換採樣（英語：inverse transform sampling），又稱為逆萬流齊一或逆萬流歸宗（inversion sampling）、逆概率積分變換（inverse probability integral transform）、逆變換法（inverse transformation method）、斯米爾諾夫變換（Smirnov transform）、黃金法則（golden rule）等，是偽隨機數採樣的一種基本方法。在已知任意概率分布的累積分布函數時，可用於從該分布中生成隨機樣本。

假設$X$為一個連續隨機變量，其累積分布函數為$F_{X}$。此時，隨機變量$Y=F_{X}(X)$服從區間[0, 1]上的均勻分布。逆變換採樣即是將該過程反過來進行：首先對於隨機變量$Y$，我們從0至1中隨機均勻抽取一個數$u$。之後，由於隨機變量$F_{X}^{-1}(Y)$與$X$有着相同的分布，$x=F_{X}^{-1}(u)$即可看作是從分布$F_{X}$中生成的隨機樣本。

示例

假設有一個累積分布函數

${\begin{aligned}F(x)=1-\exp(-{\sqrt {x}}),\end{aligned}}$

我們要從該分布中生成隨機樣本。$F(x)$的反函數為：

${\begin{aligned}F(F^{-1}(u))&=u\\1-\exp \left(-{\sqrt {F^{-1}(u)}}\right)&=u\\F^{-1}(u)&=(-\log(1-u))^{2}\\&=(\log(1-u))^{2}.\end{aligned}}$

於是，我們先從0至1中隨機均勻抽取$u$，然後計算$F^{-1}(u)=(\log(1-u))^{2}$以得到我們需要的樣本。

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