非交換幾何

非交換幾何（英語：Noncommutative geometry，簡稱NCG）為數學的分支領域，內容為非交換代數（英語：noncommutative algebra）的幾何方法，以及由函數的非交換代數局部呈現的空間的構造。非交換代數是一種結合代數，而乘積不是交換性的，亦即 $xy$ 不總是等於 $yx$ 。更廣義地說，這是一種代數結構，其中主要二元運算之一為非交換的。拓樸學或範數等概念可以延伸到非交換幾何中。

通過算子代數（即希爾伯特空間上有界線性算子的代數），可以深入了解非交換空間。^[1]非交換空間的典型例子之一也許是非交換環面，在1980年代的領域發展早期發揮了關鍵作用，導出了向量叢、聯絡、曲率等等概念的非交換版本。^[2]^:21

動機

主要動機是將空間與代數之間的交換對偶性擴展到非交換環境。數學中，帶幾何性質的空間可以與空間上的數值函數相關聯。這些函數一般會形成交換環。例如，在拓撲空間X上可取連續復值函數環C(X)。許多時候（如當X是緊豪斯多夫空間時），都可以從C(X)中復原出X，所以說X具有交換拓撲。

更具體地說，在拓撲學中，緊豪斯多夫拓撲空間可從空間上函數的巴拿赫代數中重建出來（Gelfand–Naimark定理）。在交換代數幾何中，概形是交換酉環的局部素譜（A. Grothendieck），每個擬分離概形 $X$ 都可在同構意義上從 $O_{X}$ 模的准凝聚層範疇的概形中重建出來（P. Gabriel–A. Rosenberg）。對於格羅滕迪克拓撲，景的上同調性質是相應的被抽象為意象的集合層範疇的不變量（A. Grothendieck）。在所有這些情形下，空間都是從函數代數或其範疇形式（空間上的層範疇）重建出來的。

拓撲空間上的函數可進行乘和逐點加，因此構成了交換代數；事實上，這些運算在基空間拓撲中是局部的，因此函數構成了基空間上的交換環層。

非交換幾何試圖將這種對偶性推廣到非交換代數、非交換代數的層、類層非交換代數、算子代數結構與某些幾何實體之間的對偶性，並通過這種對偶性給出實體的代數描述與幾何描述之間的相互作用。

考慮到交換環對應通常的仿射概形，交換C*-代數對應通常的拓撲空間，要推廣到非交換環和代數，需要拓撲空間的非平凡推廣，即「非交換空間」。因此，有一些關於非交換拓撲的討論。

在數學物理中的應用

粒子物理學中的部分應用可見於非交換標準模型與非交換量子場論。在1997年推測非交換幾何在M理論中的作用後，物理學界對非交換幾何突然非常高漲。^[3]

來自遍歷理論的動機

阿蘭·科納在技術層面處理非交換幾何提出的部分理論源於更早的嘗試，特別是遍歷理論。George Mackey提出了「虛子群」理論，遍歷群作用將成為一種推廣的齊性空間。

非交換C*-代數與諾依曼代數

非交換C*-代數的（形式）對偶，現在一般叫做非交換空間。這可以和蓋爾范德表示相類比，後者表明交換C*-代數與局部緊豪斯多夫空間對偶。總的來說，可以給任何C*-代數S關聯一個拓撲空間Ŝ。

由於σ-有限測度空間和交換馮諾依曼代數之間的對偶，非交換馮諾依曼代數也被稱為非交換測度空間。

非交換可微流形

光滑黎曼流形M是具有大量額外結構的拓撲空間。從其連續函數代數C(M)中，只能拓撲地復原M 。回復黎曼結構的代數不變量是三元譜，由M上的光滑向量叢E構造而來，如外部代數叢。E的平方可積瓣的希爾伯特空間L²(M, E)帶有用乘運算對C(M)的表示，考慮L²(M, E)中的無界算子D，其具有緊預解式（如符號算子），則只要f光滑，交換子[D, f]就有界。一個深刻的定理^[4]指出，M作為黎曼流形可以從這些數據中復原。

這表明，可將非交換黎曼流形定義為三元譜(A, H, D)，由希爾伯特空間H上C*-代數的表示A、H上的無界算子D、使[D, a]對A的某個稠密子代數中所有a都有界的緊預解式組成。對三元譜的研究非常活躍，已經構建了許多非交換流形的例子。

非交換仿射與射影概形

類比仿射概形與交換環的對偶，定義非交換仿射概形範疇為結合酉環範疇的對偶。這與Zariski拓撲有類似之處，這樣就可以把仿射概形推廣到更一般的對象上。

此外，還有交換分次環的Cone與Proj的推廣，模仿了塞爾關於Proj的定理，即交換分次代數的Proj上的O模的准相干層範疇等價於有限長的分次模塞爾子範疇上局部化的環上的分次模範疇；當代數符合諾特定理時，相干層也有類似定理。邁克爾·阿廷和J. J. Zhang將這個定理推廣為非交換射影幾何的定義，^[5]並增加了一些一般環論條件（如亞廷-舍爾正則性）。

射影概形的許多性質都延伸到這一領域。例如，亞廷和Zhang針對非交換射影範疇提出了著名的塞爾對偶。^[6]

A. L. Rosenberg創造了相當普遍的（在基範疇上的）非交換准緊概形，抽象化了格羅滕迪克關於概形態射、准相干範疇與平面局部化函子的研究。^[7]Fred Van Oystaeyen、Luc Willaert和Alain Verschoren還通過局部化理論提出了另一種有趣的方法，其主要概念是概形代數。^[8]^[9]

非交換空間的不變量

非交換幾何的一些激勵性問題涉及將已知拓撲不變量推廣到非交換（算子）代數的形式對偶，以及非交換空間的其他代替物。阿蘭·孔涅在非交換幾何方向的主要出發點之一是發現了非交換結合代數與非交換算子代數相關的新同調論，即循環同調及其與K-理論的關係（主要通過孔涅-陳特徵映射）。

利用算子K-理論和循環上同調的工具，光滑流形的示性類理論已經可以推廣到三元譜。對現在的經典阿蒂亞-辛格指標定理進行的一些推廣，可以有效地從三元譜中提取數值不變式。循環上同調中的基本示性類，即所謂JLO上循環（JLO cocycle）是經典陳特徵（Chern character）的推廣。

非交換空間的例子

在量子力學的相空間表述中，經典力學的辛相空間被變形為由位置與動量算子生成的非交換相空間。
非交換標準模型是對粒子物理標準模型的一種推廣。
非交換環面是普通環面的函數代數的變形，可被賦予三元譜結構。這類例子已有深入的研究，且可作為更複雜情形的案例。
Snyder空間^[10]
葉狀結構產生的非交換代數。
與數論中的動力系統有關的例子，如高斯連分數，產生了似乎具有有趣的非交換幾何的非交換代數。

聯絡

孔涅聯絡是微分幾何中聯絡的非交換推廣，由阿蘭·孔涅提出，後來被Joachim Cuntz和丹尼爾·奎倫推廣。

定義

給定右A模E，E上的孔涅聯絡是線性映射

\nabla :E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A

其滿足乘積法則 $\nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da$ 。^[11]

引用

^ Khalkhali & Marcolli 2008，第171頁.
^ Khalkhali & Marcolli 2008.
^ Connes, Alain; Douglas, Michael R; Schwarz, Albert. Noncommutative geometry and Matrix theory. Journal of High Energy Physics. 1998-02-05, 1998 (2): 003. Bibcode:1998JHEP...02..003C. ISSN 1029-8479. S2CID 7562354. arXiv:hep-th/9711162 . doi:10.1088/1126-6708/1998/02/003.
^ Connes, Alain. On the spectral characterization of manifolds. Journal of Noncommutative Geometry. 2013, 7: 1–82. S2CID 17287100. arXiv:0810.2088 . doi:10.4171/JNCG/108.
^ Artin, M.; Zhang, J.J. Noncommutative Projective Schemes. Advances in Mathematics. 1994, 109 (2): 228–287. ISSN 0001-8708. doi:10.1006/aima.1994.1087 .
^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. Serre duality for noncommutative projective schemes. Proceedings of the American Mathematical Society (American Mathematical Society (AMS)). 1997-03-01, 125 (3): 697–708. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/s0002-9939-97-03782-9 .
^ A. L. Rosenberg, Noncommutative schemes, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, doi; Underlying spaces of noncommutative schemes, preprint MPIM2003-111, dvi （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, ps （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）; MSRI lecture Noncommutative schemes and spaces (Feb 2000): video （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ Freddy van Oystaeyen, Algebraic geometry for associative algebras, ISBN 0-8247-0424-X - New York: Dekker, 2000.- 287 p. - (Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 232)
^ Van Oystaeyen, Fred; Willaert, Luc. Grothendieck topology, coherent sheaves and Serre's theorem for schematic algebras (PDF). Journal of Pure and Applied Algebra (Elsevier BV). 1995, 104 (1): 109–122. ISSN 0022-4049. doi:10.1016/0022-4049(94)00118-3. hdl:10067/124190151162165141 .
^ Snyder, Hartland S. Quantized Space-Time. Physical Review (American Physical Society (APS)). 1947-01-01, 71 (1): 38–41. Bibcode:1947PhRv...71...38S. ISSN 0031-899X. doi:10.1103/physrev.71.38.
^ Vale 2009，Definition 8.1.

參考文獻

Connes, Alain, Non-commutative geometry, Boston, MA: Academic Press, 1994, ISBN 978-0-12-185860-5
Connes, Alain; Marcolli, Matilde, A walk in the noncommutative garden, An invitation to noncommutative geometry, World Sci. Publ., Hackensack, NJ: 1–128, 2008, Bibcode:2006math......1054C, MR 2408150, arXiv:math/0601054 
Connes, Alain; Marcolli, Matilde, Noncommutative geometry, quantum fields and motives (PDF), American Mathematical Society Colloquium Publications 55, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008 [2023-10-02], ISBN 978-0-8218-4210-2, MR 2371808, （原始內容存檔 (PDF)於2009-12-29）
Gracia-Bondia, Jose M; Figueroa, Hector; Varilly, Joseph C, Elements of Non-commutative geometry, Birkhauser, 2000, ISBN 978-0-8176-4124-5
Khalkhali, Masoud; Marcolli, Matilde. Khalkhali, Masoud; Marcolli, Matilde , 編. An Invitation to non-Commutative Geometry. World Scientific. 2008 [2023-10-02]. ISBN 978-981-270-616-4. doi:10.1142/6422. （原始內容存檔於2023-02-10）.
Landi, Giovanni, An introduction to noncommutative spaces and their geometries, Lecture Notes in Physics. New Series m: Monographs 51, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, Bibcode:1997hep.th....1078L, ISBN 978-3-540-63509-3, MR 1482228, arXiv:hep-th/9701078 
Van Oystaeyen, Fred; Verschoren, Alain, Non-commutative algebraic geometry, Lecture Notes in Mathematics 887, Springer-Verlag, 1981, ISBN 978-3-540-11153-5

孔涅聯絡參考文獻

Connes, Alain. C* algèbres et géométrie différentielle. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A. 1980, 290 (13): 599–604 [2023-10-02]. （原始內容存檔於2023-05-27）（法語）.
- Connes, Alain. C* algebras and differential geometry. 2001. arXiv:hep-th/0101093 .
Connes, Alain. Non-commutative differential geometry. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1985, 62: 41–144 [2023-10-02]. ISSN 1618-1913. S2CID 122740195. doi:10.1007/BF02698807. （原始內容存檔於2023-03-19）（英語）.
Connes, Alain. Noncommutative Geometry. Academic Press. 1995. ISBN 978-0-08-057175-1.
Cuntz, Joachim; Quillen, Daniel. Algebra Extensions and Nonsingularity. Journal of the American Mathematical Society. 1995, 8 (2): 251–289 [2023-10-02]. ISSN 0894-0347. JSTOR 2152819. doi:10.2307/2152819 . （原始內容存檔於2023-03-18）.
García-Beltrán, Dennise; a-Beltrán, Dennise; Vallejo, José A.; Vorobjev, Yuriĭ. On Lie Algebroids and Poisson Algebras. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2012, 8: 006. Bibcode:2012SIGMA...8..006G. S2CID 5946411. arXiv:1106.1512 . doi:10.3842/SIGMA.2012.006.
* Vale, R. notes on quasi-free algebras (PDF). 2009 [2023-10-02]. （原始內容存檔 (PDF)於2023-03-26）.
Connections. Topics in Cyclic Theory. 2020: 201–228. ISBN 9781108855846. doi:10.1017/9781108855846.009.

閱讀更多

Consani, Caterina; Connes, Alain (編), Noncommutative geometry, arithmetic, and related topics. Proceedings of the 21st meeting of the Japan-U.S. Mathematics Institute (JAMI) held at Johns Hopkins University, Baltimore, MD, USA, March 23–26, 2009, Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 2011, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl 1245.00040
Grensing, Gerhard. Structural aspects of quantum field theory and noncommutative geometry. Hackensack New Jersey: World Scientific. 2013. ISBN 978-981-4472-69-2.

外部連結

Introduction to Quantum Geometry （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Micho Đurđevich
Ginzburg, Victor. Lectures on Noncommutative Geometry. 2005. arXiv:math/0506603 .
Khalkhali, Masoud. Very Basic Noncommutative Geometry. 2004. arXiv:math/0408416 .
Marcolli, Matilde. Lectures on Arithmetic Noncommutative Geometry. 2004. arXiv:math/0409520 .
Madore, J. Noncommutative Geometry for Pedestrians. Classical and Quantum Nonlocality. 2000: 111. Bibcode:2000cqnl.conf..111M. ISBN 978-981-02-4296-1. S2CID 15595586. arXiv:gr-qc/9906059 . doi:10.1142/9789812792938_0007.
Masson, Thierry. An informal introduction to the ideas and concepts of noncommutative geometry. 2006. arXiv:math-ph/0612012 . (An easier introduction that is still rather technical)
Noncommutative geometry on arxiv.org （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
MathOverflow, Theories of Noncommutative Geometry
Mahanta, Snigdhayan. On some approaches towards non-commutative algebraic geometry. 2005. arXiv:math/0501166 .
Sardanashvily, G. Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings. 2009. arXiv:0910.1515  [math-ph].
Noncommutative geometry and particle physics （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
connection in noncommutative geometry in nLab （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[FOOTNOTEKhalkhaliMarcolli2008171-1] Khalkhali & Marcolli 2008，第171頁.

[FOOTNOTEKhalkhaliMarcolli2008-2] Khalkhali & Marcolli 2008.

[3] Connes, Alain; Douglas, Michael R; Schwarz, Albert. Noncommutative geometry and Matrix theory. Journal of High Energy Physics. 1998-02-05, 1998 (2): 003. Bibcode:1998JHEP...02..003C. ISSN 1029-8479. S2CID 7562354. arXiv:hep-th/9711162 . doi:10.1088/1126-6708/1998/02/003.

[4] Connes, Alain. On the spectral characterization of manifolds. Journal of Noncommutative Geometry. 2013, 7: 1–82. S2CID 17287100. arXiv:0810.2088 . doi:10.4171/JNCG/108.

[5] Artin, M.; Zhang, J.J. Noncommutative Projective Schemes. Advances in Mathematics. 1994, 109 (2): 228–287. ISSN 0001-8708. doi:10.1006/aima.1994.1087 .

[6] Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. Serre duality for noncommutative projective schemes. Proceedings of the American Mathematical Society (American Mathematical Society (AMS)). 1997-03-01, 125 (3): 697–708. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/s0002-9939-97-03782-9 .

[7] A. L. Rosenberg, Noncommutative schemes, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, doi; Underlying spaces of noncommutative schemes, preprint MPIM2003-111, dvi （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, ps （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）; MSRI lecture Noncommutative schemes and spaces (Feb 2000): video （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[8] Freddy van Oystaeyen, Algebraic geometry for associative algebras, ISBN 0-8247-0424-X - New York: Dekker, 2000.- 287 p. - (Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 232)

[9] Van Oystaeyen, Fred; Willaert, Luc. Grothendieck topology, coherent sheaves and Serre's theorem for schematic algebras (PDF). Journal of Pure and Applied Algebra (Elsevier BV). 1995, 104 (1): 109–122. ISSN 0022-4049. doi:10.1016/0022-4049(94)00118-3. hdl:10067/124190151162165141 .

[10] Snyder, Hartland S. Quantized Space-Time. Physical Review (American Physical Society (APS)). 1947-01-01, 71 (1): 38–41. Bibcode:1947PhRv...71...38S. ISSN 0031-899X. doi:10.1103/physrev.71.38.

[11] Vale 2009，Definition 8.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

動機