高斯整數是複數面上的整點。
高斯整數 是實數 和虛數 部分都是整數 的複數 。所有高斯整數組成了一個整域 ,寫作
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
,是個不可以轉成有序環 的歐幾里得整環 。
Z
[
i
]
=
{
a
+
b
i
∣
a
,
b
∈
Z
}
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}
高斯整數的範數 都是非負整數,定義為
N
(
z
w
)
=
N
(
z
)
N
(
w
)
{\displaystyle N(zw)=N(z)N(w)}
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
單位元
1
,
−
1
,
i
,
−
i
{\displaystyle 1,-1,i,-i}
的範數均為
1
{\displaystyle 1}
。
高斯整數形成了一個唯一分解整環 ,其可逆元 為
1
,
−
1
,
i
,
−
i
{\displaystyle 1,-1,i,-i}
。
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
的素元素 又稱為高斯質數 。
高斯整數
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
是素數當且僅當 :
a
,
b
{\displaystyle a,b}
中有一個是零,另一個是形為
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
或其相反數
−
(
4
n
+
3
)
{\displaystyle -(4n+3)}
的素數
或
a
,
b
{\displaystyle a,b}
均不為零,而
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
為素數。
高斯素數的分布
以下給出這些條件的證明。
必要條件 的證明為:僅當高斯整數的範數是素數,或素數的平方時,它才是高斯素數。這是因為對於任何高斯整數
g
{\displaystyle g}
,
g
∣
g
g
¯
=
N
(
g
)
{\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)}
。現在,
N
(
g
)
{\displaystyle N(g)}
是整數,因此根據算術基本定理 ,它可以分解為素數
p
1
p
2
⋯
p
n
{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}
的乘積。根據素數的定義,如果
g
{\displaystyle g}
是素數,則它可以整除
p
i
{\displaystyle p_{i}}
,對於某個
i
{\displaystyle i}
。另外,
g
¯
{\displaystyle {\overline {g}}}
可以整除
p
i
¯
=
p
i
{\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}}
,因此
N
(
g
)
=
g
g
¯
∣
p
i
2
{\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}}
。於是現在只有兩種選擇:要麼
g
{\displaystyle g}
的範數是素數,要麼是素數的平方。
如果實際上對於某個素數
p
{\displaystyle p}
,有
N
(
g
)
=
p
2
{\displaystyle N(g)=p^{2}}
,那麼
g
{\displaystyle g}
和
g
¯
{\displaystyle {\overline {g}}}
都能整除
p
2
{\displaystyle p^{2}}
。它們都不能是可逆元,因此
g
=
p
u
{\displaystyle g=pu}
,以及
g
¯
=
p
u
¯
{\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}}
,其中
u
{\displaystyle u}
是可逆元。這就是說,要麼
a
=
0
{\displaystyle a=0}
,要麼
b
=
0
{\displaystyle b=0}
,其中
g
=
a
+
b
i
{\displaystyle g=a+bi}
。
然而,不是每一個素數
p
{\displaystyle p}
都是高斯素數。
2
{\displaystyle 2}
就不是高斯素數,因為
2
=
(
1
+
i
)
(
1
−
i
)
{\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}
。高斯素數不能是
4
n
+
1
{\displaystyle 4n+1}
的形式,因為根據費馬平方和定理 ,它們可以寫成
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
的形式,其中
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是整數,且
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
。剩下的就只有形為
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
的素數了。
形為
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
的素數也是高斯素數。假設
g
=
p
+
0
i
{\displaystyle g=p+0i}
,其中
p
=
4
n
+
3
{\displaystyle p=4n+3}
是素數,且可以分解為
g
=
h
k
{\displaystyle g=hk}
。那麼
p
2
=
N
(
g
)
=
N
(
h
)
N
(
k
)
{\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)}
。如果這個分解是非平凡的,那麼
N
(
h
)
=
N
(
k
)
=
p
{\displaystyle N(h)=N(k)=p}
。但是,任何兩個平方數的和都不能寫成
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
的形式。因此分解一定是平凡的,所以
g
{\displaystyle g}
是高斯素數。
類似地,
i
{\displaystyle i}
乘以一個形為
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
的素數也是高斯素數,但
i
{\displaystyle i}
乘以形為
4
n
+
1
{\displaystyle 4n+1}
的素數則不是。
如果
g
{\displaystyle g}
是範數為素數的高斯整數,那麼
g
{\displaystyle g}
是高斯素數。這是因為如果
g
=
h
k
{\displaystyle g=hk}
,那麼
N
(
g
)
=
N
(
h
)
N
(
k
)
{\displaystyle N(g)=N(h)N(k)}
。由於
N
(
g
)
{\displaystyle N(g)}
是素數,因此
N
(
h
)
{\displaystyle N(h)}
或
N
(
k
)
{\displaystyle N(k)}
一定是1,所以
h
{\displaystyle h}
或
k
{\displaystyle k}
一定是可逆元。
高斯整數環是
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
在高斯有理數 域 中的整閉包 ,由實數部分和虛數部分都是有理數 的複數組成。
在圖中很容易看到,每一個複數 與最近的高斯整數的距離最多為
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
個單位。因此,
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
是一個歐幾里德環 ,其中
v
(
z
)
=
N
(
z
)
{\displaystyle v(z)=N(z)}
。所以,該環尤其是主理想整環 ,其理想皆形如
⟨
a
+
b
i
⟩
{\displaystyle \langle a+bi\rangle }
。若
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle (a,b)=1}
,則對應的商是:
Z
[
i
]
/
⟨
a
+
b
i
⟩
≅
Z
a
2
+
b
2
=
{
[
0
]
,
[
1
]
,
[
2
]
⋯
,
[
a
2
+
b
2
−
1
]
}
.
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}
[ 1]
高斯圓問題 是中心為原點、半徑為給定值的圓內有多少格點 的問題。它本身並不是關於高斯整數的,但等價於確定範數小於某個給定值的高斯整數的數目。
關於高斯整數,還有一些猜想和未解決的問題,例如:
實數軸和虛數軸含有無窮多個高斯素數
3
,
7
,
11
,
19
,
…
{\displaystyle 3,7,11,19,\dots }
。在複平面上,還存在任何其它的直線上有無窮多個高斯素數嗎?特別地,實數部分為
1
{\displaystyle 1}
的直線上存在無窮多個高斯素數嗎?
在高斯素數上行走,步伐小於某個給定的值,可以走到無窮遠嗎?
^ 存档副本 . [2022-01-01 ] . (原始內容存檔 於2015-09-23).
C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-148.
從數到環:環論的早期歷史 ,由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5
可數集
自然數 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)
整數 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)
有理數 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)
規矩數
代數數 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
)
周期
可計算數
可定義數
高斯整數 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
)
艾森斯坦整數
合成代數
可除代數 :實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
凱萊-迪克森結構
實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
十六元數 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
)
三十二元數
六十四元數
一百二十八元數
二百五十六元數……
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