維基百科:臺灣教育專案/臺大物理系服務學習/112-1/斯托克斯問題

黏滯流體中受固體平面週期振盪的斯托克斯問題(底部黑色邊界)。速度(藍線)和粒子位移(紅點)為到平面距離的函數。

在流體動力學中，斯托克斯問題(斯托克斯第二問題)，或常稱為斯托克斯邊界層和振盪邊界層，是個描述受固體平面振盪所影響的流體行為，以喬治·斯托克斯爵士來命名。這是其中一個有精確納維-斯托克斯方程式解的簡單非穩定問題。 在湍流中，這問題同樣被稱為斯托克斯邊界層， 但須仰賴實驗、數值解與近似法才能得到有用的流體資訊。

流體描述

考慮一個無限大平面，在$x$方向以速度$U\cos \omega t$作週期振盪,平面位置為 $y=0$，上方充滿流體， $\omega$是週期振盪的角頻率。非壓縮性的納維-斯托克斯方程式可被簡化為

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

其中$\nu$為流體的運動黏度。壓力梯度未被考慮進此問題中。初始壁上的不滑移條件為

$u(0,t)=U\cos \omega t,\quad u(\infty ,t)=0,$

第二個邊界條件是因為$y=0$的振盪不會影響到無限遠處。流體只受平面振盪影響，不考慮壓力梯度。

問題解

因為週期性，不須考慮初始條件。因為方程式與邊界條件皆是線性的，速度函數可以寫成某個虛數函數的實數部分

$u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]$

因為$\cos \omega t=\Re e^{i\omega t}$

將上式帶入偏微分方程式中，可簡化為

$f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0$

將邊界條件帶入

$f(0)=1,\quad f(\infty )=0$

即可得到上式方程式的解為

$f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]$

$u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)$

受振盪平面所影響的擾動以波的形式傳播流體，但會受指數項衰減。波的滲透深度$\delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}$隨振盪頻率下降而上升，隨著運動黏度下降而下降。

單位面積因流體而施加在平面上的力為

$F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)$

在力與平面的振盪之間有產生一相位差。

邊界附近的窩度振盪

振盪斯托克斯流解的一大重點是窩度振盪受限於狹小邊界層中並在遠離平面時以指數衰減。這個發現同樣適用於渦流邊界層。在斯托克斯邊界層外(充滿大部分流體的地方)，渦流振盪可以被忽略。作為好的近似, 流速振盪在邊界層外是無旋的，且位流理論可用來解釋振盪運動的部分。這大大簡化了問題，也很常被應用在聲波和水波的無旋部分。

受制於上平面的流體

若流體受制於位置$y=h$，固定不動的上平面，那麼流速可以被寫為

$u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]$

其中$\lambda ={\sqrt {\omega /(2\nu )}}$。

流體受制於自由平面

假設流體區域為$0<y<h$ ， $y=h$處代表一個自由面。其解在1968 被易家訓院士 解出，其為

$u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(W-W^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(h-y)/\delta ]e^{i\omega t}$

其中 $\delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}.$

平面附近受週期壓力梯度振盪的流體行為

受正弦曲線遠場速度振盪影響的斯托克斯邊界層。藍縣是水平速度，紅點則是相對應的水平粒子偏移

對於振盪遠場流的情況，考慮平面靜止， 其可以透過先前的解藉由線性疊加原理組合起來。考慮遠離平面處波速以$u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t$振盪，在平面處 $u(0,t)=0$。不像先前穩流情況，這邊無限遠處的壓力梯度會是一個時間的週期函數，其解為

$u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],$

在 z = 0 的地方值為0, 此與平面靜止的不滑移條件有關。這個解很常在牆壁附近的聲波問題碰到，或是水床附近的水波問題。靜止平面附近的窩度振盪值與振盪平面的值相同，但差一負號。

圓柱對稱下的斯托克斯問題

扭轉振盪

考慮無限長、半徑為 $a$的圓柱體以角速度 $\Omega \cos \omega t$作扭轉振盪，$\omega$是其振盪角頻率。那麼暫態後的速度會趨向於

$v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]$

其中 $K_{1}$第二種形式的修正 Bessel Function。這個解可以被表示為下式的實數部分:

${\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}$

其中

$\Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},$

$\mathrm {kei}$和 $\mathrm {ker}$是開爾文函數，$R_{\omega }$是無單位的振盪雷諾數，定義為$R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu$，其中$\nu$是運動黏度。

軸向振盪

若圓柱體在軸向以$U\cos \omega t$振盪,其速度場為

$u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]$

其中$K_{0}$為修正Bessel Function的第二種形式。

斯托克斯-庫埃特流

對於泰勒-庫埃特流,除了其中一個平面的平移運動, 其平面的週期運動是可以被運算的。若我們有個在 $y=0$ 的靜止平面與在 $y=h$的上表面，受$U\cos \omega t$的速度振盪驅動, 其速度場可被寫為

$u=U\ \Re \left\{{\frac {\sin ky}{\sin kh}}\right\},\quad {\text{where}}\quad k={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}.$

單位面積施加在移動平面上的摩擦力為 $-\mu U\Re \{k\cot kh\}$，施加在靜止的則是 $\mu U\Re \{k\csc kh\}$。

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