區間

此條目介紹的是數學上的區間概念。關於鐵路運輸的區間概念，請見「閉塞 (鐵路)」。

在圖中的數軸上，所有大於x和小於x+a的數組成了一個開區間。

區間（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某個範圍的預序集元素的集合，一般以集合形式表示。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變量在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間$(10,20)$表示所有在$10$和$20$之間的實數，但不包括$10$或$20$。另一方面，閉區間$[10,20]$表示所有在$10$和$20$之間的實數，以及$10$和$20$。

定義

實區間

在賦予通常序的實數集$\mathbb {R}$里，以$a,b\in \mathbb {R}$為端點的開區間和閉區間分別是：

$(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}$

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}$

類似地，以$a,b$為端點的兩個半開區間定義為：

$(a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}$

$[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}$

在一些上下文中，兩個端點要求滿足$a<b$。這排除了$a=b$從而區間或是單元素集合或是空集的情形，也排除了$a>b$從而區間為空集的情形。

只有左端點$a$的開區間和半開區間分別如下。

$(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},$

$[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},$

只有右端點$b$的開區間和半開區間分別如下。

$(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},$

$(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},$

整個實數線等於沒有端點的區間：

$(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$

偏序集或預序集中的區間

區間的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何預序集中有定義。對於預序集$(X,\lesssim )$和兩個元素$a,b\in X,$，我們可以類似定義

$(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}$

$[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}$

$(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}$

$[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}$

$(a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}$

$[a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}$

$(-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}$

$(-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}$

$(-\infty ,\infty )=X$

其中$x<y$意思是$x\lesssim y\not \lesssim x$。其實，只有一個端點或者沒有端點的區間等同於更大的預序集

${\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}$

$-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)$

上具有兩個端點的區間，使得它是$X$的子集。當$X=\mathbb {R}$時，可以取${\bar {\mathbb {R} }}$為擴展實數線。

序凸集和序凸分支

預序集$(X,\lesssim )$的子集$A\subseteq X$是序凸集，如果對於任意$x,y\in A$以及任意$x\lesssim z\lesssim y$有$z\in A$。與實區間的情形不同，預序集的序凸集不一定是區間。例如，在有理數的全序集$(\mathbb {Q} ,\leq )$中，

$\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}$

是序凸集，但它不是$\mathbb {Q}$的區間，這是因為2的平方根在$\mathbb {Q}$中是不存在的。

設$(X,\lesssim )$是一個預序集，且$Y\subseteq X$。包含在$Y$中的$X$的序凸集關於包含關係構成偏序集。這個偏序集的極大元叫做$Y$的序凸分支。由佐恩引理，包含在$Y$中的$X$的任意序凸集包含於$Y$的一個序凸分支，然而這種序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，這樣的序凸分支確實唯一。也就是說，全序集的子集的序凸分支構成分劃。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

$T\times S=\{x\mid {}$屬於$T$的某些$y$，及屬於$S$的某些$z$，使得$x=y\times z\}$

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集$[a,b]$及$[c,d]$：

$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$

$[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]$

$[a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]$

${\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集$X(Y+Z)$是$XY+XZ$的子集。

另一種寫法

在法國及其他一些歐洲國家，用$][$代替$()$來表示開區間，例如：

$\left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}$

$\left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$

$\left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}$

$\left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}$

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將$[1,2.3]$寫成$[1;2,\!3]$。若只把小數點寫成逗號，就會變成$[1,2,\!3]$，此時不易判斷究竟是$1.2$與$3$之間，還是$1$與$2.3$之間的閉區間。