区间

此条目介绍的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念，请见“闭塞 (铁路)”。

在图中的数轴上，所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。

区间（英语：interval）在数学上是指某个范围的数的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。

简说

在初等代数，传统上区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能包含该两个实数（或其中之一）。区间表示法是表示一个变数在某个区间内的方式。通用的区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括。例如，开区间$(10,20)$表示所有在$10$和$20$之间的实数，但不包括$10$或$20$。另一方面，闭区间$[10,20]$表示所有在$10$和$20$之间的实数，以及$10$和$20$。

定义

实区间

在赋予通常序的实数集$\mathbb {R}$里，以$a,b\in \mathbb {R}$为端点的开区间和闭区间分别是：

$(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}$

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}$

类似地，以$a,b$为端点的两个半开区间定义为：

$(a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}$

$[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}$

在一些上下文中，两个端点要求满足$a<b$。这排除了$a=b$从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了$a>b$从而区间为空集的情形。

只有左端点$a$的开区间和半开区间分别如下。

$(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},$

$[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},$

只有右端点$b$的开区间和半开区间分别如下。

$(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},$

$(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},$

整个实数线等于没有端点的区间：

$(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$

偏序集或预序集中的区间

区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集$(X,\lesssim )$和两个元素$a,b\in X,$，我们可以类似定义

$(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}$

$[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}$

$(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}$

$[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}$

$(a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}$

$[a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}$

$(-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}$

$(-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}$

$(-\infty ,\infty )=X$

其中$x<y$意思是$x\lesssim y\not \lesssim x$。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

${\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}$

$-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)$

上具有两个端点的区间，使得它是$X$的子集。当$X=\mathbb {R}$时，可以取${\bar {\mathbb {R} }}$为扩展实数线。

序凸集和序凸分支

预序集$(X,\lesssim )$的子集$A\subseteq X$是序凸集，如果对于任意$x,y\in A$以及任意$x\lesssim z\lesssim y$有$z\in A$。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集$(\mathbb {Q} ,\leq )$中，

$\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}$

是序凸集，但它不是$\mathbb {Q}$的区间，这是因为2的平方根在$\mathbb {Q}$中是不存在的。

设$(X,\lesssim )$是一个预序集，且$Y\subseteq X$。包含在$Y$中的$X$的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做$Y$的序凸分支。由佐恩引理，包含在$Y$中的$X$的任意序凸集包含于$Y$的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。

区间算术

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

$T\times S=\{x\mid {}$属于$T$的某些$y$，及属于$S$的某些$z$，使得$x=y\times z\}$

区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集$[a,b]$及$[c,d]$：

$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$

$[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]$

$[a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]$

${\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]$

被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。

加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集$X(Y+Z)$是$XY+XZ$的子集。

另一种写法

在法国及其他一些欧洲国家，用$][$代替$()$来表示开区间，例如：

$\left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}$

$\left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$

$\left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}$

$\left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}$

国际标准化组织编制的ISO 31-11也允许这种写法。

另外，在小数点以逗号来表示的情况下，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替，例如将$[1,2.3]$写成$[1;2,\!3]$。若只把小数点写成逗号，就会变成$[1,2,\!3]$，此时不易判断究竟是$1.2$与$3$之间，还是$1$与$2.3$之间的闭区间。