喬丹–維格納變換

Jordan–Wigner 變換可用於將自旋算符映射到費米子的產生和湮滅算符。一維晶格模型由 Pascual Jordan 與 Eugene Wigner 提出，當前亦得到二維模型的類似變換。 通過把自旋算符變換為費米子的產生湮滅算符，繼而在費米子基矢中作對角化，Jordan–Wigner 變換經常用於精確求解 1D 自旋鏈，例如伊辛模型和 XY 模型。

此變換證明一維空間至少在有些情況下， 自旋-1/2 粒子與費米子不可區別。

自旋與費米子類比

接下來證明如何從一維自旋-1/2粒子構成的自旋鏈映射到費米子.

將自旋-1/2泡利算符作用到1D鏈的上的第j個晶座，$\sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-},\sigma _{j}^{z}$. 選取 反對易算符 $\sigma _{j}^{+}$ and $\sigma _{j}^{-}$, 可以發現 $\{\sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-}\}=1$, 這些可從費米子的產生湮滅算符中得到。我們可以嘗試，

$\sigma _{j}^{+}=(\sigma _{j}^{x}+i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}^{\dagger }$

$\sigma _{j}^{-}=(\sigma _{j}^{x}-i\sigma _{j}^{y})/2=f_{j}$

$\sigma _{j}^{z}=2f_{j}^{\dagger }f_{j}-1.$

這樣，可以得到同晶格上費米子關係 $\{f_{j}^{\dagger },f_{j}\}=1$, 但對不同的晶格，有關係 $[f_{j}^{\dagger },f_{k}]=0$, 其中 $j\neq k$, 如此不同晶格上的自旋的對易關係不同於反對易的費米子。人們必須彌補這個問題。

Jordan–Wigner 變換

能夠恢復從自旋算符到真正費米子對易關係的變換於1928由 Jordan 和 Wigner 提出。此為 Klein 變換的特殊情況。考慮費米子鏈，定義一組新算符

$a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}^{\dagger }$

$a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}f_{j}$

$a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}=f_{j}^{\dagger }f_{j}-{\frac {1}{2}}.$

與之前的定義相差一個相 $e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}$。此相與場模 $k=1,\ldots ,j-1$ 下佔據的費米子數有關。如果佔有模數為偶，此相等於 $+1$； 佔有模數為奇，相為 $-1$。表示為

$e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}(1-2f_{k}^{\dagger }f_{k}).$

最後一個等式使用了 $f_{k}^{\dagger }f_{k}=0,1.$

這樣，變換後的自旋算符具有正確的費米子對易關係

$\{a_{i}^{\dagger },a_{j}\}=\delta _{i,j},\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=0,\{a_{i},a_{j}\}=0.$

逆變換為

$a_{j}^{\dagger }=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{+}$

$a_{j}=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}}\sigma _{j}^{-}$

$a_{j}^{\dagger }a_{j}=\sigma _{j}^{z}+{\frac {1}{2}}.$

另見

• Klein transformation
• S-duality
• Michael Nielsen: Notes on Jordan-Wigner Transformation（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）