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- 離散幾何和 組合幾何 屬於研究離散的幾何對象組合性質和建設性方法的 幾何分支，離散幾何的大部分問題涉及到基礎幾何學科的有限或[[离散集合]]，如點，線，面，圓，球體，多邊形甚至四維空間等。該主題集中在這些對象的組合屬性上，比如它們是如何相互交叉的，或者他們如何被安排來覆蓋更大的對象。
離散幾何與凸幾何和幾何計算有很大的重疊部分，與下列學科密切相關，如有限幾何， 組合優化，數字幾何， 離散微分幾何，幾何圖論，復曲面幾何和組合拓撲。
歷史
[編輯]儘管 多面體 和 分割 已經已經被像開普勒 和 柯西這樣的大數學家等人研究了多年，現代離散幾何起源於19世紀後期。早期的研究主題是：Axel Thue研究的半群問題, 雷耶和 斯坦尼茨研究的射影配置 、赫爾曼·閔可夫斯基研究的四維時空，及泰特，希伍德和Hadwiger研究的的四色定理。
拉斯洛*Fejes Tóth, H.S.M.考克斯特 和 保所有單，奠定了離散幾何的基礎。
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離散幾何的主題
[編輯]多面體
[編輯]多面體 是一個有幾個平面的幾何對象，它存在於任何一般的維數。 多邊形屬於二維的多面體， 三維甚至更高維的多面體(例如在四的維空間上的 4-多面體 )。有一些理論更進一步推廣這樣的想法包括無限多面體(apeirotopes 和 分割)，和 抽象多面體。
以下是一些方面的多面體研究在離散的幾何形狀：
- 多面體組合
- 凸晶格多面體
- 埃爾哈特多項式
- 皮克定理
- 赫希猜想
包裝、覆蓋和平鋪
[編輯]包裝、覆蓋，平鋪，是以一個規則的方式在平面或多面上安排統一對象的所有方式(典型的圈，域，或鋪)。
球體包裝是在容納空間內的非重疊球體的排列。所考慮的領域通常是相同的大小、該空間通常屬於三維歐幾里德空間。然而， 包裝問題域 可以籠統考慮為不平衡域， n維-歐幾里德維空間(在那裏，問題變成二維的圈包裝域，或更高維的超球空間)，或非歐幾里德空間，例如 雙曲空間。
用一個或多個幾何形狀來分割平坦的曲面，沒有重疊和間隙，稱為「平鋪」。在數學中，分割可以推廣到更高維。
特定的主題，在這一領域包括：
結構剛性和柔性
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結構剛度 是一個預測由靈活的連杆結構或鉸鏈連接而成的剛體組成的集合（合奏）的靈活性的組合理論。
這方面的各種專題包括：
- 柯西定理
- 柔性多面體
發生結構
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發生結構形成平面(如 仿射、 投射，有限反演平面)正如從公理的定義中看到的那樣。 發生的結構還形成了更高維的類似物和有時被稱為 有限幾何的有限結構。
從形式上看，一個發生結構是一個三角
在 P 是一系列的"點"， L是一系列的"線" 表示發生關係。I中的元素稱為 標誌。若
我們說點的 p "位於"的線 上。
主題延伸：
- 配置
- 線路安排
- 超平面安排
- 建築物
面向陣
[編輯] 面向陣 是一個提取了有向圖的抽象屬性和向量空間上的向量在有序域 (尤其是有序的向量空間)上的排列的數學結構。 比較而言，一個普通(即非定向的)擬陣提取了線性無關屬性，兩者在圖上不一定具有導向性，在向量域的排列上，不一定有序的。引用錯誤：<ref>標籤中未填內容的參照必須填寫name屬性引用錯誤：<ref>標籤中未填內容的參照必須填寫name屬性
幾何圖論
[編輯]幾何圖 是一個由 頂點 和 邊緣 連接而成的與幾何學相關的圖。實例包括歐幾里德圖，1-骨架 的多面體或多胞形，相交圖以及可視性圖。
主題延伸：
單純復形
[編輯]單純復形 屬 拓撲空間 的一種，將 點，線段，三角形「粘合在一起」建造起來，形成 n-維的對應方 (見圖)。 不要將單純復形與現代單純同倫理中出現的更抽象的概念單純集合混淆。單純復形的純粹的組合對應是一個抽象的單純復形。
拓撲組合
[編輯]拓撲組合學採用拓撲學中組合的概念，並在20世紀初期併入到 代數拓撲的領域。
在1978年，當 拉斯洛*Lovász 證明 Kneser猜想的時候，用代數拓撲解決組合數學裏的問題的方法的情況逆轉，因而開始 拓撲組合新的研究。 Lovász在 博蘇克-烏拉姆定理 的使用了這個理論且該理論在該新領域保留着關鍵性的作用。這個定理有許多相關版本及類似物且已被用 公平分割分配 的研究中。
主題延伸：
- 斯內爾定理
- 定期地圖（圖論）
格和離散組
[編輯]一個 離散組 是一個裝有離散的拓撲結構的群 G 。在該拓撲下，G成為一個 拓撲群。 一個拓撲群G的 離散組 是一個子群H，其 相對化拓撲（子空間拓撲）是分立的。例如，整數Z，形成離散子群實R (在度量空間的標準下)，但有理數Q做不到這樣。
局部緊緻拓撲群的格是一個離散子群，其商空間具有有限不變量。特殊的集群例子 Rn，它相當於通常的幾何概念的一個格，格的代數結構和幾何整體的所有格二者都比較好理解。阿爾芒波萊爾, 哈里什 - 錢德拉，喬治·丹尼爾·莫斯托，玉河恆夫，M. S. Raghunathan，格列戈里·馬爾古利斯，羅伯特·傑弗里·齊默等人從20世紀50年代至20世紀70年代提供的案例和形成的眾多理論中獲得更深的結論來在局部域設置冪零李群 和 約化群。在20世紀90年代，海曼·貝斯和 Alexander Lubotzky 開始研究樹格，該領域至今是一個活躍的研究領域。
主題延伸：
- 反射群體
- 三角團
數字幾何
[編輯]數字幾何 處理 離散空間 組(通常是分散 點 集)被認為是 的 歐幾里德空間的2D或3D數碼化的模型或圖片的對象。
簡單地說， 數碼化 正在用一組離散的點來替代事物。我們從電視屏幕上看到的圖像， 計算機上的光柵顯示，或者在報紙所看到的，都是實際上的數字圖像。
其主要應用領域是 計算機圖形 和 圖像分析。 引用錯誤：<ref>標籤中未填內容的參照必須填寫name屬性
離散微分幾何
[編輯]離散微分幾何 是研究微分幾何里離散變換的概念。有多邊形， 網格，和 單純復形，而不是光滑的曲線和曲面。 它被用在 計算機圖形 和 拓撲組合的研究中。
相關主題：
- 分立拉普拉斯算子
- 離散的微積分的外觀
- 離散莫爾斯理論
- 拓撲組合
- 光譜形狀分析
- 抽象微分幾何
- 分形分析
其他
[編輯]註釋
[編輯]參考文獻
[編輯]- Bezdek, András,. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. 2003. ISBN 0-8247-0968-3.
- Bezdek, Károly. Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. 2010. ISBN 978-1-4419-0599-4.
- [[Károly Bezdek|Bezdek, Károly, Károly]]; Deza, Antoine; Ye, Yinyu. Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side. New York, N.Y: Springer. 2013. ISBN 978-1-4614-8117-1.
- Bezdek, Károly; Deza, Antoine; Ye, Yinyu. Discrete Geometry and Optimization. New York, N.Y: Springer. 2013. ISBN 978-3-319-00200-2.
- Brass, Peter; Moser, William; Pach, János. Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. 2005. ISBN 0-387-23815-8.
- Pach, János; Agarwal, Pankaj K. Combinatorial geometry. New York: Wiley-Interscience. 1995. ISBN 0-471-58890-3.
- [[Peter M. Gruber|Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph, Peter M.]] Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. 2004. ISBN 1-58488-301-4.
- Gruber, Peter M. Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. 2007. ISBN 3-540-71132-5.
- Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. 2002. ISBN 0-387-95374-4.
- Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. 1997. ISBN 3-540-61341-2.
外部聯繫
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