用户:Veronicakkk/离散几何
- 离散几何和 组合几何 属于研究离散的几何对象组合性质和建设性方法的 几何分支，离散几何的大部分问题涉及到基础几何学科的有限或[[离散集合]]，如点，线，面，圆，球体，多边形甚至四维空间等。该主题集中在这些对象的组合属性上，比如它们是如何相互交叉的，或者他们如何被安排来覆盖更大的对象。
离散几何与凸几何和几何计算有很大的重叠部分，与下列学科密切相关，如有限几何， 组合优化，数字几何， 离散微分几何，几何图论，复曲面几何和组合拓扑。
历史
[编辑]尽管 多面体 和 分割 已经已经被像开普勒 和 柯西这样的大数学家等人研究了多年，现代离散几何起源于19世纪后期。早期的研究主题是：Axel Thue研究的半群问题, 雷耶和 斯坦尼茨研究的射影配置 、赫尔曼·闵可夫斯基研究的四维时空，及泰特，希伍德和Hadwiger研究的的四色定理。
拉斯洛*Fejes Tóth, H.S.M.考克斯特 和 保所有单，奠定了离散几何的基础。
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离散几何的主题
[编辑]多面体
[编辑]多面体 是一个有几个平面的几何对象，它存在于任何一般的维数。 多边形属于二维的多面体， 三维甚至更高维的多面体(例如在四的维空间上的 4-多面体 )。有一些理论更进一步推广这样的想法包括无限多面体(apeirotopes 和 分割)，和 抽象多面体。
以下是一些方面的多面体研究在离散的几何形状：
- 多面体组合
- 凸晶格多面体
- 埃尔哈特多项式
- 皮克定理
- 赫希猜想
包装、覆盖和平铺
[编辑]包装、覆盖，平铺，是以一个规则的方式在平面或多面上安排统一对象的所有方式(典型的圈，域，或铺)。
球体包装是在容纳空间内的非重叠球体的排列。所考虑的领域通常是相同的大小、该空间通常属于三维欧几里德空间。然而， 包装问题域 可以笼统考虑为不平衡域， n维-欧几里德维空间(在那里，问题变成二维的圈包装域，或更高维的超球空间)，或非欧几里德空间，例如 双曲空间。
用一个或多个几何形状来分割平坦的曲面，没有重叠和间隙，称为“平铺”。在数学中，分割可以推广到更高维。
特定的主题，在这一领域包括：
结构刚性和柔性
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结构刚度 是一个预测由灵活的连杆结构或铰链连接而成的刚体组成的集合（合奏）的灵活性的组合理论。
这方面的各种专题包括：
- 柯西定理
- 柔性多面体
发生结构
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发生结构形成平面(如 仿射、 投射，有限反演平面)正如从公理的定义中看到的那样。 发生的结构还形成了更高维的类似物和有时被称为 有限几何的有限结构。
从形式上看，一个发生结构是一个三角
在 P 是一系列的"点"， L是一系列的"线" 表示发生关系。I中的元素称为 标志。若
我们说点的 p "位于"的线 上。
主题延伸：
- 配置
- 线路安排
- 超平面安排
- 建筑物
面向阵
[编辑] 面向阵 是一个提取了有向图的抽象属性和向量空间上的矢量在有序域 (尤其是有序的矢量空间)上的排列的数学结构。 比较而言，一个普通(即非定向的)拟阵提取了线性无关属性，两者在图上不一定具有导向性，在矢量域的排列上，不一定有序的。引用错误：<ref>标签中未填内容的引用必须填写name属性引用错误：<ref>标签中未填内容的引用必须填写name属性
几何图论
[编辑]几何图 是一个由 顶点 和 边缘 连接而成的与几何学相关的图。实例包括欧几里德图，1-骨架 的多面体或多胞形，相交图以及可视性图。
主题延伸：
单纯复形
[编辑]单纯复形 属 拓扑空间 的一种，将 点，线段，三角形“粘合在一起”建造起来，形成 n-维的对应方 (见图)。 不要将单纯复形与现代单纯同伦理中出现的更抽象的概念单纯集合混淆。单纯复形的纯粹的组合对应是一个抽象的单纯复形。
拓扑组合
[编辑]拓扑组合学采用拓扑学中组合的概念，并在20世纪初期并入到 代数拓扑的领域。
在1978年，当 拉斯洛*Lovász 证明 Kneser猜想的时候，用代数拓扑解决组合数学里的问题的方法的情况逆转，因而开始 拓扑组合新的研究。 Lovász在 博苏克-乌拉姆定理 的使用了这个理论且该理论在该新领域保留着关键性的作用。这个定理有许多相关版本及类似物且已被用 公平分割分配 的研究中。
主题延伸：
- 斯内尔定理
- 定期地图（图论）
格和离散组
[编辑]一个 离散组 是一个装有离散的拓扑结构的群 G 。在该拓扑下，G成为一个 拓扑群。 一个拓扑群G的 离散组 是一个子群H，其 相对化拓扑（子空间拓扑）是分立的。例如，整数Z，形成离散子群实R (在度量空间的标准下)，但有理数Q做不到这样。
局部紧致拓扑群的格是一个离散子群，其商空间具有有限不变量。特殊的集群例子 Rn，它相当于通常的几何概念的一个格，格的代数结构和几何整体的所有格二者都比较好理解。阿尔芒波莱尔, 哈里什 - 钱德拉，乔治·丹尼尔·莫斯托，玉河恒夫，M. S. Raghunathan，格列戈里·马尔古利斯，罗伯特·杰弗里·齐默等人从20世纪50年代至20世纪70年代提供的案例和形成的众多理论中获得更深的结论来在局部域设置幂零李群 和 约化群。在20世纪90年代，海曼·贝斯和 Alexander Lubotzky 开始研究树格，该领域至今是一个活跃的研究领域。
主题延伸：
- 反射群体
- 三角团
数字几何
[编辑]数字几何 处理 离散空间 组(通常是分散 点 集)被认为是 的 欧几里德空间的2D或3D数码化的模型或图片的对象。
简单地说， 数码化 正在用一组离散的点来替代事物。我们从电视屏幕上看到的图像， 计算机上的光栅显示，或者在报纸所看到的，都是实际上的数字图像。
其主要应用领域是 计算机图形 和 图像分析。 引用错误：<ref>标签中未填内容的引用必须填写name属性
离散微分几何
[编辑]离散微分几何 是研究微分几何里离散变换的概念。有多边形， 网格，和 单纯复形，而不是光滑的曲线和曲面。 它被用在 计算机图形 和 拓扑组合的研究中。
相关主题：
- 分立拉普拉斯算子
- 离散的微积分的外观
- 离散莫尔斯理论
- 拓扑组合
- 光谱形状分析
- 抽象微分几何
- 分形分析
其他
[编辑]注释
[编辑]参考文献
[编辑]- Bezdek, András,. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. 2003. ISBN 0-8247-0968-3.
- Bezdek, Károly. Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. 2010. ISBN 978-1-4419-0599-4.
- [[Károly Bezdek|Bezdek, Károly, Károly]]; Deza, Antoine; Ye, Yinyu. Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side. New York, N.Y: Springer. 2013. ISBN 978-1-4614-8117-1.
- Bezdek, Károly; Deza, Antoine; Ye, Yinyu. Discrete Geometry and Optimization. New York, N.Y: Springer. 2013. ISBN 978-3-319-00200-2.
- Brass, Peter; Moser, William; Pach, János. Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. 2005. ISBN 0-387-23815-8.
- Pach, János; Agarwal, Pankaj K. Combinatorial geometry. New York: Wiley-Interscience. 1995. ISBN 0-471-58890-3.
- [[Peter M. Gruber|Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph, Peter M.]] Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. 2004. ISBN 1-58488-301-4.
- Gruber, Peter M. Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. 2007. ISBN 3-540-71132-5.
- Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. 2002. ISBN 0-387-95374-4.
- Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. 1997. ISBN 3-540-61341-2.
外部联系
[编辑][[Category:離散幾何]]