在抽象代數中,一個群的交換子(commutator)或換位子是一個二元運算子。設g及h 是 群G中的元素,他們的交換子是g −1 h −1 gh,常記為[ g, h ]。只有當g和h符合交換律(即gh = hg)時他們的交換子才是這個群的單位元。
一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G的導群,記作D(G)。
群G中兩個元素g和h的交換子為元素
- [g, h] = g−1h−1gh
它等於群的么元若且唯若g和h可交換(即gh = hg)。
環或結合代數上兩個元素a和b的交換子定義為:
量子力學中,經常用到對易關係(commutation relation),即
- ;
其中;、均為量子力學的算符,是其對易算符,也稱交換子。
如果上式等於零,則稱、是對易的,即意味着和兩個算符的運算順序可以調換。反之則稱非對易的,運算順序不可以調換。
量子力學中,交換子有以下特性:
量子力學中的各個力學量之間,常用的對易關係有:
以下,是位置算符、是動量算符、是角動量算符(包括軌道角動量、自旋角動量等),而是克羅內克δ、是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三個方向中的任意一個。
對易關係 |
更具體的形式
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、
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、
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、、、
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、、
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物理學中,正則對易關係是正則共軛的量之間的關係,這樣的量從定義可以發現:一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說:
上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量,而為所謂與的交換算符,是虛數單位,為約化普朗克常數,等於。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩,並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。
相對於量子力學,古典物理中所有可觀測量都可對易(交換),而交換算符會是零;然而仍然有類似的關係存在:需將交換子換成卜瓦松括號,且常數換成:
這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設:一般來說,古典的觀測量其量子對應項應滿足
- 。
於1927年,赫爾曼·外爾(Hermann Weyl)指出了量子算符與相空間中古典分佈之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制,稱作魏爾量子化(Weyl quantization),為了一種稱作形變量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了數學途徑。
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