交換子

在抽象代數中，一個群的交換子（commutator）或換位子是一個二元運算子。設g及h 是群G中的元素，他們的交換子是g⁻¹ h⁻¹ gh，常記為[ g, h ]。只有當g和h符合交換律（即gh = hg）時他們的交換子才是這個群的單位元。

一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G的導群，記作D(G)。

群論

群 $G$ 中兩個元素 $g$ 和 $h$ 的交換子為元素

[g, h] = g -1 h -1 gh

它等於群的么元若且唯若 $g$ 和 $h$ 可交換（即 $gh = hg$ ）。

環論

環或結合代數上兩個元素a和b的交換子定義為：

[a,b]=ab-ba.

量子力學

量子力學中，經常用到對易關係（commutation relation），即

[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

；

其中； ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 均為量子力學的算符， $[{\hat {A}},{\hat {B}}]$ 是其對易算符，也稱交換子。

如果上式等於零，則稱 ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 是對易的，即意味著 ${\hat {A}}$ 和 ${\hat {B}}$ 兩個算符的運算順序可以調換。反之則稱非對易的，運算順序不可以調換。

量子力學中，交換子有以下特性:

[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]

[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]

[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]

[{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...

[k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]

[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0

量子力學中的各個力學量之間，常用的對易關係有：

以下， ${\hat {x}}$ 是位置算符、 ${\hat {p}}$ 是動量算符、 ${\hat {L}}$ 是角動量算符（包括軌道角動量、自旋角動量等），而 $\delta _{ij}$ 是克羅內克δ、 $\epsilon _{ijk}$ 是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三個方向中的任意一個。

對易關係	更具體的形式
$[{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=0$	$[{\hat {x}},{\hat {x}}]=0$ 、 $[{\hat {x}},{\hat {y}}]=0$
$[{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0$	$[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{x}]=0$ 、 $[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0$
$[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$	$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar$ 、 $[{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0$ 、 $[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=0$ 、 $[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i\hbar$
$[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}$	$[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}$ 、 $[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}$ 、 $[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}$