极值长度

数学上，共形和拟共形映射的理论中，一个曲线族 $\Gamma$ 的极值长度是 $\Gamma$ 的一个共形不变量。确切来说，设 $D$ 是复平面中的开集， $\Gamma$ 是 $D$ 中的路径族， $f:D\to D'$ 是一个共形映射。那么 $\Gamma$ 的极值长度等于 $\Gamma$ 在 $f$ 下的像的极值长度。因此极值长度是研究共形映射的有用工具。

极值长度的定义

设 $D$ 是复平面中的开集。设 $\Gamma$ 是在 $D$ 中的可求长曲线族。 $\rho :D\to [0,\infty ]$ 是博雷尔可测函数。对任意可求长曲线 $\gamma$ ，设

L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|

表示 $\gamma$ 的 $\rho$ 长度，其中 $|dz|$ 表示欧氏线元。（可能有 $L_{\rho }(\gamma )=\infty$ 。）又设

L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).

$\rho$ 的面积定义为

A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,

而 $\Gamma$ 的极值长度定义为

EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,

其中最小上界是取自所有满足 $0<A(\rho )<\infty$ 的博雷尔可测函数 $\rho :D\to [0,\infty ]$ 。若 $\Gamma$ 包含了不可求长曲线，将 $\Gamma$ 中可求长曲线的子集记为 $\Gamma _{0}$ ，则 $EL(\Gamma )$ 定义为 $EL(\Gamma _{0})$ 。