極值長度

數學上，共形和擬共形映射的理論中，一個曲線族 $\Gamma$ 的極值長度是 $\Gamma$ 的一個共形不變量。確切來說，設 $D$ 是複平面中的開集， $\Gamma$ 是 $D$ 中的路徑族， $f:D\to D'$ 是一個共形映射。那麼 $\Gamma$ 的極值長度等於 $\Gamma$ 在 $f$ 下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

極值長度的定義

設 $D$ 是複平面中的開集。設 $\Gamma$ 是在 $D$ 中的可求長曲線族。 $\rho :D\to [0,\infty ]$ 是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線 $\gamma$ ，設

L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|

表示 $\gamma$ 的 $\rho$ 長度，其中 $|dz|$ 表示歐氏線元。（可能有 $L_{\rho }(\gamma )=\infty$ 。）又設

L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).

$\rho$ 的面積定義為

A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,

而 $\Gamma$ 的極值長度定義為

EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,

其中最小上界是取自所有滿足 $0<A(\rho )<\infty$ 的博雷爾可測函數 $\rho :D\to [0,\infty ]$ 。若 $\Gamma$ 包含了不可求長曲線，將 $\Gamma$ 中可求長曲線的子集記為 $\Gamma _{0}$ ，則 $EL(\Gamma )$ 定義為 $EL(\Gamma _{0})$ 。