跳至內容

凸共軛

維基百科,自由的百科全書

數學中,凸共軛(英語:convex conjugate)是勒讓德變換的一種推廣;凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換(Legendre–Fenchel transformation)阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。

定義

[編輯]

函數擴展的實數軸上取值。

它的凸共軛定義為:

這裡,表示實賦範向量空間表示對偶空間

映射表示一個二次型,滿足:對於)中任意非零元素,總能在(對應地,)中找到一個元素使得

例子

[編輯]
  • 仿射變換;它的凸共軛是:

  • 冪函數;它的凸共軛是:

這裡

  • 絕對值變換;它的凸共軛是:

;它的凸共軛是:

性質

[編輯]

逆序性

[編輯]

如果,那麼就有。這裡的指,對定義域中所有元素,都有成立。

半連續性與兩次凸共軛

[編輯]

函數的凸共軛總具有半連續性,因此函數的兩次共軛也具有半連續性。同時,還是是閉凸包,也即最大的凸的半連續函數,滿足

由Fenchel-Moreau定理可以知道,對於合適的函數 若且唯若是半連續的凸函數。

Fenchel不等式

[編輯]

, 這裡的凸共軛。

凸性

[編輯]

凸共軛算子自身是凸的,即:

取函數間任意實數,有: 成立。

最小值卷積

[編輯]

對於兩個函數fg,它們的最小值卷積被定義為

如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半連續的函數。那麼它們的最小值卷積是凸且半連續的(但不一定proper),並且滿足關係

兩個函數的最小值卷積具有幾何意義。兩個函數的最小值卷積的超圖是這兩個函數的超圖閔可夫斯基和