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凸共轭

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数学中,凸共轭(英語:convex conjugate)是勒让德变换的一种推广;凸共轭也被称作勒讓德-芬克爾变换(Legendre–Fenchel transformation)阿德里安-马里·勒让德和威爾納·芬克爾命名。

定义

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函数扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为:

这里,表示实賦範向量空間表示对偶空间

映射表示一个二次型,满足:对于)中任意非零元素,总能在(对应地,)中找到一个元素使得

例子

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  • 仿射变换;它的凸共轭是:

  • 幂函数;它的凸共轭是:

这里

  • 绝对值变换;它的凸共轭是:

;它的凸共轭是:

性质

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逆序性

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如果,那么就有。这里的指,对定义域中所有元素,都有成立。

半连续性与两次凸共轭

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函数的凸共轭总具有半连续性,因此函数的两次共轭也具有半连续性。同时,还是是闭凸包,也即最大的凸的半连续函数,满足

由Fenchel-Moreau定理可以知道,对于合適的函数 当且仅当是半连续的凸函数。

Fenchel不等式

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, 这里的凸共轭。

凸性

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凸共轭算子自身是凸的,即:

取函数间任意实数,有: 成立。

最小值卷积

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对于两个函数fg,它们的最小值卷积被定义为

如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的(但不一定proper),并且满足关系

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图闵可夫斯基和