有理數

實數（ℝ）包括有理數（ℚ），其中包括整數（ℤ），其中包括自然數（ℕ）

在數學中，可以表達為兩個整數比的數（${\frac {a}{b}}$, $b\neq 0$）被定義為有理數（英語：rational number），例如${\frac {3}{8}}$，0.75（可被表達為${\frac {3}{4}}$）；整數和整數分數統稱為有理數。

與有理數相對的是無理數，不是有理數的實數遂稱為無理數。如${\sqrt {2}}$無法用整數比表示。有理數與分數形式的區別，分數形式是一種表示比的記法，如分數形式${\frac {\sqrt {2}}{2}}$是無理數，所以要並非所有以分數表示的數字皆為有理數（例如 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 並不是有理數）。

所有有理數構成的集合常寫作 $\mathbf {Q}$ 或 $\mathbb {Q}$，其定義為：

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}$

有理數寫作小數時，其小數部分有限或為循環。

詞源

有理數在英文中稱作rational number，來自拉丁語rationalis，意為理性的；詞根ratio，拉丁語意為理性、計算。代表「比例」的英文ratio一詞在歷史上出現得要比有理數（rational number）一詞更晚，前者最早有記錄是1660，而後者是1570年。

運算

有理數集對加、減、乘、除四則運算是封閉的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、減、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理數的加法和乘法如下：

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

兩個有理數 ${\frac {a}{b}}$ 和 ${\frac {c}{d}}$ 相等的充要條件為 $ad=bc$。

有理數中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0$時，$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}$

兩數相乘，同號得正異號得負，並把絕對值相乘。

古埃及分數

主條目：古埃及分數

古埃及分數是分子為1、分母為正整數的有理數。每個有理數都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數的和。例如：

${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}$

對於給定的正有理數，存在無窮多種表達成有限個兩兩不等的古埃及分數之和的方法。

形式構建

數學上可以將有理數定義為建立在整數的有序對上$\left(a,b\right)$的等價類，這裡$b,d$不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法，規則如下：

$\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)$

$\left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)$

為了使${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$，定義等價關係$\sim$如下：

$\left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc$

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的，而且可以將Q定義為整數有序對關於等價關係~的商集：$\mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim$。例如：兩個對$(a,b)$和$(c,d)$是相同的，如果它們滿足上述等式。（這種構建可用於任何整數環，參見商域。）

定義大小

Q上的大小可以定義為：

$\left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)$若且唯若下列任一條件成立：

1. $bd>0$並且$ad\leq bc$
2. $bd<0$並且$ad\geq bc$

然後$x<y$是指$x\leq y$但$y\nleq x$。亦可在「小於」概念之上引入「大於」的概念，即：$a<b$若且唯若$b>a$。此排序中，每一對有理數$a,b$之間皆可比較，必有且僅有以下關係之一：

$a=b$，$a>b$，$a<b$。

又滿足遞移性：若$a<b$，且$b<c$，則$a<c$。所以以上定義的大小關係是全序關係。

有理數集的序還滿足稠密性：若$a<b$，則必存在有理數$c$，滿足$a<c$，且$c<b$。

性質

有理數集是可數的

集合$\mathbb {Q}$，以及上述的加法和乘法運算，構成域，即整數$\mathbb {Z}$的商域。

有理數是特徵為0的域最小的一個：所有其他特徵為0的域都包含$\mathbb {Q}$的一個拷貝（即存在一個從$\mathbb {Q}$到其中的同構映射）。

$\mathbb {Q}$的代數閉包，例如有理數多項式的根的域，是代數數體。

所有有理數的集合是可數的，亦即是說$\mathbb {Q}$的基數（或勢）與自然數集合$\mathbb {N}$相同，都是阿列夫數$\aleph _{0}$，這是因為可以定義一個從有理數集$\mathbb {Q}$映至自然數集合的笛卡兒積$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$的單射函數，而$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$是可數集合之故。因為所有實數的集合是不可數的，所以從勒貝格測度來看，可以認為絕大多數實數不是有理數。

有理數的序是個稠密序：任何兩個有理數之間存在另一個有理數，事實上是存在無窮多個。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

實數

有理數是實數的稠密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。

依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。採用度量$d\left(x,y\right)=|x-y|$，有理數構成一個度量空間，這是$\mathbb {Q}$上的第三個拓撲。幸運的是，所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域。有理數是非局部緊緻空間的一個重要的實例。這個空間也是完全不連通的。有理數不構成完備的度量空間；實數是$\mathbb {Q}$的完備集。

p進數

除了上述的絕對值度量，還有其他的度量將$\mathbb {Q}$轉化到拓撲域：

設$p$是質數，對任何非零整數$a$設$|a|_{p}=p^{-n}$，這裡$p^{n}$是整除$a$的$p$的最高次冪；

另外$|0|_{p}=0$。對任何有理數${\frac {a}{b}}$，設$\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}$。

則$d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}$在$\mathbb {Q}$上定義了一個度量。

度量空間$\left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)$不完備，它的完備集是p進數域$\mathbb {Q} _{p}$。

參見

• 浮點數
• 尼雲定理