使用者:Mountain/通向實在之路

《通向實在之路》是羅傑·彭羅斯的著名著作，這個頁面用於按章節搜集本書中的關鍵字。本頁的目的有兩個作用：其一補全維基之不足；其二跟蹤相關文章的變化。

通向實在之路

引子

• 畢達哥拉斯

科學的根源

• 探尋世界的成因：宇宙、規律
• 數學真理： 數學、真理、泰勒斯、畢達哥拉斯學派、證明、歐幾里得幾何、物理實在、幾何、柏拉圖、理念說
• 柏拉圖的數學世界真實嗎： 模型、存在、客觀、柏拉圖主義、選擇公理、曼德布羅特集
• 三個世界與三重奧秘： 數學存在 、物理存在、心智
• 善、真、美： 善、真、美、道德、科學

古代定理和現代問題

• 畢達哥拉斯定理：畢達哥拉斯定理
• 歐幾里得公設：歐幾里得公設、平行公設、剛體運動
• 畢達哥拉斯定理的相似面積證明：相似形、面積、平行公設
• 雙曲幾何：共形圖像： 埃舍爾、雙曲幾何、蘭伯特公式、共形表示、共形模型、距離、剛性移動
• 雙曲幾何的其他表示： 貝爾特拉米 、球極平面投影、閔可夫斯基幾何
• 雙曲幾何的歷史淵源： 薩凱里、蘭伯特、高斯、羅巴切夫斯基、波爾約、龐加萊、克萊因
• 與物理空間的關係： 空間、宇宙學尺度、廣義相對論、黎曼幾何、度規

物理世界裡數的種類

• 畢達哥拉斯災難： 有理數、無理數、實數
• 實數系： 十進制、連分數、二次無理數、戴德金分割
• 物理世界的實數： 數學結構、尺度、普朗克尺度、時空、量子、離散、自旋網絡、扭量理論、量子引力
• 自然數需要物理世界嗎： 自然數、零、婆羅摩笈多、集合、馮·諾伊曼
• 物理世界的離散數： 電荷、夸克、加和性量子數、負數、反粒子、狄拉克、虛粒子

奇幻的複數

• 魔數： 卡爾達諾、i
• 用複數解方程： 代數基本定理
• 冪級數的收斂： 冪級數、發散、收斂、歐拉
• 韋賽爾複平面： 韋賽爾、複平面、收斂圓
• 如何構造曼德布羅特集： 迭代、曼德布羅特集

對數、冪和根的幾何

• 復代數幾何： 變換、極坐標、幅角
• 複對數的概念： 對數、計算尺
• 多值性和自然對數： e、自然對數、歐拉公式
• 複數冪： 等角螺線、循環群、
• 與現代粒子物理學的某些關聯：乘積性量子數、宇稱、玻色子、費米子、夸克性

實數微積分

• 如何構造實函數： 數學分析、微積分、微分、積分、阿基米德、費馬、牛頓、萊布尼茲、函數、映射、赫維賽德階梯函數
• 函數的斜率： 斜率、光滑、連續、導數
• 高階導數： 高階導數
• 歐拉的函數概念： 冪級數、解析函數
• 微分法則： 萊布尼茲法則
• 積分： 定積分、微積分基本定理

複數微積分

• 復光滑、全純函數： 柯西-黎曼方程、周線積分（圍道積分、迴路積分）、全純函數
• 周線積分： 路徑積分、同倫、同調
• 復光滑冪級數：
• 解析延拓： 解析延拓、狄利克雷級數、黎曼猜想

黎曼曲面和復映射

• 黎曼曲面的概念： 黎曼、黎曼曲面、流形
• 共形映射： 共形幾何、莫比烏斯變換
• 黎曼球面： 黎曼球面
• 緊黎曼曲面的虧格：虧格、模
• 黎曼映射定理： 茹科夫斯基變換、黎曼映射定理

傅立葉分解和超函數

• 傅立葉級數： 約瑟夫·傅立葉、傅立葉級數、基音、高次諧音
• 圓上的函數： 洛朗級數
• 黎曼球面上的頻率剖分：頻率剖分
• 傅立葉變換： 傅立葉變換
• 傅立葉變換的頻率剖分
• 哪種函數是適當的：
• 超函數： 超函數、佐藤干夫

曲面

• 復維和實維：維數、一維複流形
• 光滑和偏導數：光滑流形、坐標拼塊、偏導數
• 矢量場和1形式：微分算符、梯度
• 分量、純量積：余矢量、對偶關係、純量積
• 柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程、拉普拉斯算子

超複數

• 四元數代數：威廉·哈密頓、四元數、環、除環、矢量空間
• 四元數的物理角色：約翰·格雷夫斯、八元數、可除代數、克利福德代數
• 四元數幾何：旋量
• 轉動如何疊加：平動 、轉動
• 克利福德代數：狄拉克電子方程、自旋空間
• 格拉斯曼代數：格拉斯曼代數