艾森斯坦整數

艾森斯坦整數是複數平面上三角形點陣的交點。

艾森斯坦整數是具有以下形式的複數：

$z=a+b\omega \,\!$

其中a和b是整數，且

$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}$

是三次單位根。艾森斯坦整數在複數平面上形成了一個三角形點陣。高斯整數則形成了一個正方形點陣。

艾森斯坦整數環是僅有的九個由$\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})~(D<0)$中的代數整數構成的主理想環之一。另外的八個分別是$D=-1,-2,-7,-11,-19,-43,-67,-163$。

性質

艾森斯坦整數在代數數體$\mathbb {Q} (\omega )$中形成了一個代數數的交換環。每一個z = a + bω都是首一多項式

$z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!$

的根。特別地，ω滿足以下方程：

${{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0$

因此，艾森斯坦整數是代數數。

艾森斯坦整數的範數是它的絕對值的平方，由以下的公式給出：

$|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

因此它總是整數。由於：

$4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!$

因此非零艾森斯坦整數的範數總是正數。

艾森斯坦整數環中的可逆元素群，是複數平面中六次單位根所組成的循環群。它們是：

{±1, ±ω, ±ω²}

它們是範數為一的艾森斯坦整數。

艾森斯坦質數

設x和y是艾森斯坦整數，如果存在某個艾森斯坦整數z，使得y = z x，則我們說x能整除y。

它是整數的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸質數的概念：一個非可逆元素的艾森斯坦整數x是艾森斯坦質數，如果它唯一的因子是ux的形式，其中u是六次單位根的任何一個。

我們可以證明，任何一個被3除餘1的質數都具有形式x²−xy+y²，因此可以分解為(x+ωy)(x+ω²y)。因為這樣，它在艾森斯坦整數中不是質數。被3除餘2的質數則不能分解為這種形式，因此它們也是艾森斯坦質數。

任何一個艾森斯坦整數a + bω，只要範數a²−ab+b²為質數，那麼就是一個艾森斯坦質數。實際上，任何一個艾森斯坦整數要麼就是這種形式，要麼就是一個可逆元素和一個被3除餘2的質數的乘積。

歐幾里德域

艾森斯坦整數環形成了一個歐幾里德域，其範數N由以下的公式給出：

$N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

這是因為：

${\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}$

參見

• 高斯整數

參考文獻

• Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
• Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
• Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
• Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部連結

• MathWorld （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）