雙線性映射

在數學中，一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素，生成第三個向量空間上一個元素之函數，並且該函數對每個參數都是線性的。例如矩陣乘法就是一個例子。

定義

設$V$, $W$和$X$是在同一個基礎域$F$上的三個向量空間。雙線性映射是函數

$B:V\times W\rightarrow X$

使得對於任何$W$中$w$，映射

$v\mapsto B\left(v,w\right)$

是從$V$到$X$的線性映射，並且對於任何$V$中的$v$，映射

$w\mapsto B(v,w)$

是從$W$到$X$的線性映射。

換句話說，如果保持雙線性映射的第一個參數固定，並留下第二個參數可變，結果就是線性算子，如果保持第二個參數固定也是類似的。

如果$V=W$並且有$B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)$對於所有$V$中的$v,w$，則我們稱$B$是對稱的。

當這裡的$X$是$F$的時候，我們稱之為雙線性形式，它特別有用(參見例子純量積、內積和二次形式)。

如果使用在交換環$R$上的模替代向量空間，定義不需要任何改變。還可容易的推廣到$n$元函數，這裡正確的術語是「多線性」。

對非交換基礎環$R$和右模$M_{R}$與左模$_{R}N$的情況，我們可以定義雙線性映射$B:M\times N\rightarrow T$，這裡的$T$是阿貝爾環，使得對於任何$N$中的$n,m\mapsto B\left(m,n\right)$是群同態，而對於任何$M$中的$m,n\mapsto B\left(m,n\right)$是群同態，並還滿足

$B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)$

對於所有的$M$中的$m$，$N$中$n$和$R$中的$t$。

定義$V$, $W$,$X$是有限維的，則$L\left(V,W;X\right)$也是有限維的。對於$X=F$就是雙線性形式，這個空間的維度是$\dim V\times \dim W$（儘管線性形式的空間$L\left(V\times W;K\right)$的維度是$\dim V+\dim W$）。看得出來，選擇$V$和$W$的基；接著每個線性映射可以唯一的表示為矩陣$B(e_{i},f_{j})$，反之亦然。現在，如果$X$是更高維的空間，我們明顯的有$\dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X$。

例子

• 矩陣乘法是雙線性映射$M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)$。
• 如果在實數$\mathbb {R}$上的向量空間$V$承載了內積，則內積是雙線性映射$V\times V\rightarrow \mathbb {R}$。
• 一般的說，對於在域$F$上的向量空間$V$，在$V$上的雙線性形式同於雙線性映射$V\times V\rightarrow F$。
• 如果$V$是有對偶空間$V^{*}$的向量空間，則應用算子$b(f,v)=f(v)$是從$V^{*}\times V$到基礎域的雙線性映射。
• 設$V$和$W$是在同一個基礎域$F$上的向量空間。如果$f$是$V^{*}$的成員而$g$是$W^{*}$的成員，則$b(v,w)=f(v)g(w)$定義雙線性映射$V\times W\rightarrow F$。
• 在$\mathbb {R} ^{3}$中叉積是雙線性映射$\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$。
• 設$B:V\times W\rightarrow X$是雙線性映射，而$L:U\rightarrow W$是線性算子，則$(v,u)\rightarrow B(v,Lu)$是在$V\times U$上的雙線性映射。
• 零映射，定義於$B(v,w)=o$對於所有$V\times W$中的$(v,w)$，是從$V\times W$到$X$的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上，如果$(v,w)\in V\times W$，則$B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o$。

參見

• 張量積
• 多線性映射
• 半雙線性形式
• 雙線性濾波